Calcul du tir avec TI 89
Calculez rapidement la portée, le temps de vol, la hauteur maximale et visualisez la trajectoire d’un projectile avec une méthode directement exploitable sur TI-89, en cours de physique comme en préparation d’exercices.
Calculateur de tir
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Guide expert du calcul du tir avec TI 89
Le calcul du tir avec TI 89 correspond à l’étude d’un projectile lancé avec une vitesse initiale, selon un angle donné, dans un repère plan où l’on suit séparément le mouvement horizontal et le mouvement vertical. En pratique, cette thématique revient très souvent au lycée, en première année d’université, en BTS, en classes préparatoires et dans de nombreux contextes de remise à niveau en physique. La TI-89 est particulièrement adaptée à ce type d’exercice, car elle sait gérer les fonctions trigonométriques, les équations paramétriques, les résolutions numériques et les représentations graphiques de manière très efficace.
Quand on parle de tir parabolique, on suppose généralement un modèle simplifié : pas de résistance de l’air, accélération gravitationnelle constante et mouvement dans un plan. Dans ce cadre, le projectile suit une courbe qui est une parabole. Le grand intérêt pédagogique de la TI-89 est qu’elle permet de passer facilement d’une écriture théorique à une vérification numérique et graphique. Autrement dit, elle aide à comprendre, à calculer et à contrôler la cohérence des résultats.
Pourquoi la TI-89 est pertinente pour les exercices de tir
La TI-89 est plus qu’une simple calculatrice scientifique. Elle possède des fonctions de calcul formel, un solveur, un environnement graphique avancé et des possibilités de programmation. Pour le calcul du tir, ces atouts se traduisent concrètement par plusieurs bénéfices :
- vous pouvez entrer directement les composantes de vitesse horizontale et verticale ;
- vous pouvez résoudre l’instant d’impact en posant y(t)=0 ;
- vous pouvez tracer la trajectoire dans un repère paramétrique ;
- vous pouvez comparer rapidement plusieurs angles de tir ;
- vous pouvez vérifier l’effet d’un changement de gravité, par exemple entre la Terre et la Lune.
Dans un devoir classique, l’objectif n’est pas seulement de trouver un nombre final. Il faut souvent justifier la méthode, écrire les équations horaires, déterminer le sommet de la trajectoire, calculer la durée du vol et conclure sur la portée. Une TI-89 bien utilisée ne remplace pas le raisonnement physique, mais elle accélère fortement les étapes de calcul.
Rappel du modèle physique
Le tir oblique se décompose en deux mouvements indépendants :
- Sur l’axe horizontal, le mouvement est uniforme si l’on néglige les frottements. La vitesse horizontale reste constante.
- Sur l’axe vertical, le mouvement est uniformément varié sous l’effet de la gravité, avec une accélération de valeur g vers le bas.
Si la vitesse initiale vaut v₀ et l’angle de tir vaut θ, alors les composantes sont :
- vₓ = v₀ cos(θ)
- vᵧ = v₀ sin(θ)
Les équations horaires s’écrivent alors :
- x(t) = vₓ t
- y(t) = h₀ + vᵧ t – 0.5 g t²
La TI-89 est très pratique ici, car elle permet soit d’utiliser directement ces expressions pour calculer des valeurs, soit de travailler par tableaux, soit de faire un tracé paramétrique. Dans le cadre d’un exercice simple où la hauteur initiale est nulle, on retrouve la formule classique de la portée maximale :
R = v₀² sin(2θ) / g
Cette formule montre immédiatement que, pour une vitesse initiale donnée et une hauteur initiale nulle, l’angle de 45° maximise la portée dans le modèle sans frottement. C’est l’une des observations les plus célèbres du tir parabolique.
Méthode complète pour faire le calcul du tir avec TI 89
Voici une méthode fiable et reproductible, utilisable aussi bien dans un exercice noté que dans un travail personnel :
- Identifier les données : vitesse initiale, angle, hauteur initiale, gravité.
- Basculer la TI-89 en mode degrés si l’angle est donné en degrés.
- Calculer les composantes vₓ et vᵧ avec cos() et sin().
- Écrire x(t) et y(t).
- Résoudre l’équation y(t)=0 pour obtenir le temps de vol.
- Remplacer ce temps dans x(t) pour obtenir la portée.
- Déterminer la hauteur maximale soit par formule, soit en annulant la vitesse verticale.
- Vérifier graphiquement la cohérence du résultat.
Sur TI-89, une démarche très courante consiste à définir les variables, puis à utiliser la fonction solve(). Par exemple, si vous avez défini la fonction y(t), il suffit de résoudre y=0 avec la contrainte t>0 pour obtenir le temps physique pertinent. Vous pouvez ensuite calculer la portée en évaluant x(t) à cet instant.
Exemple numérique détaillé
Prenons un projectile lancé à 30 m/s avec un angle de 45° depuis le sol, sur Terre. On utilise g = 9.81 m/s².
- vₓ = 30 cos(45°) ≈ 21.21 m/s
- vᵧ = 30 sin(45°) ≈ 21.21 m/s
- temps de vol ≈ 4.33 s
- portée ≈ 91.74 m
- hauteur maximale ≈ 22.94 m
Sur TI-89, vous pouvez soit entrer directement les formules, soit résoudre pas à pas. Si vous tracez la courbe paramétrique x(t), y(t) pour t allant de 0 à 4.33, vous obtenez une parabole régulière dont le sommet se situe au milieu du vol. Cet exemple simple est idéal pour vérifier que vous maîtrisez la structure générale du calcul du tir.
Tableau comparatif des gravités utiles pour le calcul du tir
Le choix de la gravité modifie fortement les résultats. À vitesse et angle identiques, une gravité plus faible augmente le temps de vol, la hauteur maximale et la portée. Les valeurs ci-dessous sont des références physiques couramment utilisées dans les exercices :
| Astre | Gravité de surface (m/s²) | Conséquence sur un tir | Source de référence |
|---|---|---|---|
| Terre | 9.81 | Référence standard des exercices scolaires | Données physiques standard |
| Lune | 1.62 | Portée et temps de vol beaucoup plus grands | NASA |
| Mars | 3.71 | Trajectoire plus étendue que sur Terre | NASA |
Avec la TI-89, il devient très simple de refaire le même calcul pour différents astres. C’est un excellent moyen de comprendre intuitivement le rôle de g dans l’équation verticale. Sur la Lune, par exemple, un même lancement produit une courbe bien plus large et plus haute.
Comparaison réelle des portées pour v₀ = 30 m/s et h₀ = 0 m
Le tableau suivant montre l’influence réelle de l’angle de tir sur la portée sur Terre, en utilisant la formule sans frottement. Ces valeurs sont utiles pour se faire une intuition avant même de saisir les calculs dans la TI-89 :
| Angle | sin(2θ) | Portée estimée (m) | Observation |
|---|---|---|---|
| 15° | 0.5000 | 45.87 | Tir tendu, temps de vol limité |
| 30° | 0.8660 | 79.44 | Compromis efficace entre temps et vitesse horizontale |
| 45° | 1.0000 | 91.74 | Portée maximale sur sol horizontal sans frottement |
| 60° | 0.8660 | 79.44 | Plus haut, mais pas plus loin que 30° |
| 75° | 0.5000 | 45.87 | Trajectoire très haute, faible portée |
Ce tableau met en évidence une propriété importante : les angles complémentaires, comme 30° et 60°, donnent la même portée lorsque la hauteur initiale est nulle et que les frottements sont négligés. Sur TI-89, c’est un excellent exercice de vérification croisée.
Erreurs fréquentes lors du calcul du tir avec TI 89
- Confusion degrés et radians : c’est l’erreur numéro un.
- Mauvais signe devant la gravité : le terme vertical doit contenir un coefficient négatif pour la partie en t².
- Oubli de la hauteur initiale : si le projectile part d’une table ou d’une falaise, h₀ change le temps de vol.
- Mauvaise interprétation des solutions : y(t)=0 peut parfois donner t=0 et une autre solution positive ; seule la seconde correspond à l’impact final.
- Arrondis trop précoces : sur TI-89, gardez plusieurs décimales pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin.
Comment entrer les équations sur TI-89
Une manière efficace de procéder est de définir d’abord les variables numériques, puis les fonctions. Par exemple, vous pouvez calculer :
- vx:=v0*cos(theta)
- vy:=v0*sin(theta)
- y(t):=h0+vy*t-(g*t^2)/2
- x(t):=vx*t
Ensuite, vous utilisez le solveur pour y(t)=0. Une fois le temps de vol trouvé, vous remplacez sa valeur dans x(t). Si vous souhaitez aller plus loin, la TI-89 permet aussi de définir une fenêtre graphique et d’afficher le mouvement en mode paramétrique. Cette visualisation est particulièrement utile pour voir si la portée et la hauteur obtenues sont plausibles.
Liens de référence pour approfondir
Pour vérifier les constantes, approfondir la physique du mouvement balistique simple et consulter des ressources pédagogiques solides, vous pouvez vous appuyer sur ces sources d’autorité :
- NASA.gov – gravité lunaire et masse de la Lune
- NASA.gov – données physiques sur Mars
- GSU.edu – HyperPhysics sur le mouvement des projectiles
Pourquoi utiliser un calculateur en ligne avant ou après la TI-89
Un calculateur comme celui présenté ici ne remplace pas la TI-89, il la complète. Il permet d’abord de vérifier une solution, puis d’illustrer l’effet des paramètres sans avoir à ressaisir toutes les équations. Pour les enseignants, c’est un support visuel pratique. Pour les étudiants, c’est un moyen rapide de confirmer qu’une résolution manuelle ou sur calculatrice est cohérente. Pour les autodidactes, c’est un outil d’entraînement extrêmement efficace.
En particulier, l’affichage du graphe aide à comprendre trois idées fondamentales : la vitesse horizontale reste constante, la hauteur dépend d’une loi quadratique, et la trajectoire n’est pas “courbe au hasard” mais déterminée précisément par les données initiales. Cette compréhension visuelle renforce la mémorisation des formules et améliore la qualité du raisonnement.
Conclusion
Maîtriser le calcul du tir avec TI 89, c’est savoir relier la physique, l’algèbre, la trigonométrie et l’exploitation intelligente de la calculatrice. Une bonne méthode consiste à décomposer le mouvement, poser correctement les équations, vérifier le mode d’angle, résoudre le temps d’impact puis en déduire la portée et la hauteur maximale. Une fois cette logique comprise, vous pouvez traiter rapidement la majorité des exercices classiques de tir oblique.
Le calculateur interactif ci-dessus vous donne une version immédiate et visuelle de cette démarche. Utilisez-le pour tester des scénarios, comparer plusieurs gravités, voir l’influence de l’angle de tir et renforcer votre maîtrise des manipulations que vous effectuerez ensuite sur TI-89.