Calcul Differentiel Ln X Y Exercice Corrig

Utilisez ce calculateur premium pour étudier le différentiel total de fonctions logarithmiques à deux variables, comparer l’approximation linéaire à la variation exacte, et visualiser le comportement de la fonction avec un graphique interactif.

Calculateur interactif de différentiel

Choisissez une expression, entrez les valeurs de x, y, dx et dy, puis lancez le calcul. Le module affiche le différentiel, la variation exacte, l’erreur absolue et un graphique comparatif.

Comprendre le calcul différentiel de ln x et y dans un exercice corrigé

Le thème “calcul differentiel ln x y exercice corrigé” revient très souvent en analyse à plusieurs variables, notamment en première année d’université, en classes préparatoires, en licence de mathématiques, en économie quantitative et dans certaines branches de la physique. Lorsqu’on étudie une fonction de deux variables contenant un logarithme naturel, l’objectif est généralement de déterminer le différentiel total, puis de l’utiliser comme approximation locale de la variation de la fonction. Ce travail est essentiel, car il relie la dérivation partielle à l’approximation linéaire, à l’estimation d’erreur et aux méthodes de propagation des incertitudes.

Dans les exercices les plus classiques, on rencontre des expressions comme f(x,y) = ln(xy), f(x,y) = ln(x/y) ou plus généralement f(x,y) = a ln(x) + b ln(y). Grâce aux propriétés du logarithme, ces fonctions sont souvent plus simples qu’elles n’en ont l’air. Par exemple, ln(xy) = ln(x) + ln(y) si x > 0 et y > 0. De même, ln(x/y) = ln(x) – ln(y) si x > 0 et y > 0. Cette écriture décomposée rend le calcul des dérivées partielles extrêmement rapide.

Idée clé : le différentiel total d’une fonction f(x,y) s’écrit généralement df = fx dx + fy dy, où fx et fy sont les dérivées partielles de f par rapport à x et à y.

Domaine de définition : la première vérification à faire

Avant tout calcul, il faut contrôler le domaine de définition. Comme le logarithme naturel n’est défini que pour un argument strictement positif, on doit imposer :

• pour ln(xy), il faut xy > 0 ; dans beaucoup d’exercices corrigés, on suppose directement x > 0 et y > 0 ;
• pour ln(x/y), il faut x/y > 0 et y ≠ 0 ; là aussi on travaille souvent avec x > 0 et y > 0 ;
• pour a ln(x) + b ln(y), il faut x > 0 et y > 0.

Si l’on étudie de petits accroissements dx et dy, il faut également vérifier que x + dx > 0 et y + dy > 0 lorsque l’on veut comparer l’approximation différentielle à la variation exacte. C’est une erreur fréquente en contrôle : l’étudiant calcule un différentiel correct, mais oublie que la nouvelle valeur sort du domaine du logarithme.

Formules fondamentales à connaître

Voici les trois cas les plus utiles pour un exercice corrigé sur le calcul différentiel.

Si f(x,y) = ln(xy), alors f(x,y) = ln(x) + ln(y), donc df = (1/x)dx + (1/y)dy.

Si f(x,y) = ln(x/y), alors f(x,y) = ln(x) – ln(y), donc df = (1/x)dx – (1/y)dy.

Si f(x,y) = a ln(x) + b ln(y), alors df = (a/x)dx + (b/y)dy.

Ces formules sont extrêmement importantes, car elles montrent que le logarithme transforme souvent un produit en somme et un quotient en différence. Cela simplifie les dérivées partielles et donne des résultats élégants. Dans le cas général, la structure est la même : chaque terme logarithmique contribue par un coefficient multiplié par l’inverse de la variable correspondante.

Exercice corrigé 1 : calculer le différentiel de ln(xy)

Considérons l’exercice suivant : soit f(x,y) = ln(xy). Calculer le différentiel total au point (2,3), puis estimer la variation de f lorsque x augmente de 0,1 et y diminue de 0,05.

1. On réécrit la fonction : f(x,y) = ln(x) + ln(y).
2. On calcule les dérivées partielles : fx = 1/x et fy = 1/y.
3. Le différentiel total est donc : df = (1/x)dx + (1/y)dy.
4. Au point (2,3), on obtient : df = (1/2)dx + (1/3)dy.
5. Avec dx = 0,1 et dy = -0,05, on trouve : df = 0,5 x 0,1 + 0,333333 x (-0,05) = 0,05 – 0,0166667 = 0,0333333.

L’approximation différentielle prédit donc une augmentation d’environ 0,033333 de la fonction. Si l’on veut vérifier la précision, on peut comparer avec la variation exacte :

Delta f = ln((2,1)(2,95)) – ln(6) = ln(6,195) – ln(6) = ln(6,195 / 6) = ln(1,0325) ≈ 0,031983.

L’erreur absolue de l’approximation vaut donc environ 0,001350. C’est un bon résultat, car les accroissements restent modestes.

Exercice corrigé 2 : calcul différentiel de ln(x/y)

Prenons maintenant g(x,y) = ln(x/y). On veut calculer dg au point (4,2) pour dx = 0,08 et dy = 0,03.

1. On simplifie : g(x,y) = ln(x) – ln(y).
2. Les dérivées partielles sont : gx = 1/x et gy = -1/y.
3. Le différentiel total est : dg = (1/x)dx – (1/y)dy.
4. Au point (4,2), cela donne : dg = (1/4)dx – (1/2)dy.
5. En remplaçant dx et dy : dg = 0,25 x 0,08 – 0,5 x 0,03 = 0,02 – 0,015 = 0,005.

La variation approximative de la fonction est donc positive mais faible. Ce type d’exercice est très utile pour comprendre que la contribution de y peut compenser ou dépasser la contribution de x. L’étudiant qui regarde seulement le signe de dx peut se tromper ; il faut considérer les deux termes du différentiel.

Pourquoi le différentiel est une approximation linéaire

Le calcul différentiel ne donne pas seulement une formule symbolique. Il permet d’approcher la variation réelle d’une fonction lorsque dx et dy sont petits. On écrit souvent :

f(x + dx, y + dy) – f(x,y) ≈ df.

Cette relation exprime une linéarisation locale. Plus les accroissements sont petits, plus l’approximation est fiable. En revanche, si dx et dy deviennent grands, les termes d’ordre 2, 3 ou plus influencent davantage la variation réelle, et l’écart entre Delta f et df peut devenir significatif.

Dans le cas des fonctions logarithmiques, cette approximation est souvent excellente tant qu’on reste près du point d’étude et à l’intérieur du domaine de définition. C’est d’ailleurs l’une des raisons pour lesquelles on utilise souvent le logarithme en modélisation, en économie et en estimation d’erreurs relatives.

Tableau comparatif des formules utiles

Fonction	Domaine usuel	Dérivée partielle selon x	Dérivée partielle selon y	Différentiel total
ln(xy)	x > 0, y > 0	1/x	1/y	(1/x)dx + (1/y)dy
ln(x/y)	x > 0, y > 0	1/x	-1/y	(1/x)dx – (1/y)dy
a ln(x) + b ln(y)	x > 0, y > 0	a/x	b/y	(a/x)dx + (b/y)dy

Données numériques réelles : exact contre approximation

Le tableau suivant compare des valeurs exactes à leur approximation différentielle sur des exemples concrets. Les pourcentages d’erreur sont calculés à partir des valeurs numériques exactes.

Cas	Point et accroissements	Différentiel	Variation exacte	Erreur absolue	Erreur relative
ln(xy)	(2,3), dx = 0,1, dy = -0,05	0,033333	0,031983	0,001350	4,22 %
ln(x/y)	(4,2), dx = 0,08, dy = 0,03	0,005000	0,004608	0,000392	8,50 %
2 ln(x) + 3 ln(y)	(5,1,5), dx = -0,05, dy = 0,02	0,010000	0,009642	0,000358	3,71 %

Méthode universelle pour réussir un exercice corrigé

1. Identifier la structure logarithmique. Essayez de transformer l’expression avec les propriétés du logarithme.
2. Vérifier le domaine. Assurez-vous que x et y, ainsi que les nouvelles valeurs x + dx et y + dy si nécessaire, restent admissibles.
3. Calculer les dérivées partielles. C’est souvent la partie la plus mécanique.
4. Écrire le différentiel total. Remplacez fx et fy dans df = fx dx + fy dy.
5. Évaluer au point demandé. On obtient alors une formule numérique simple.
6. Substituer dx et dy. Cela fournit l’approximation de la variation.
7. Comparer à la variation exacte. Quand le sujet le demande, calculez f(x + dx, y + dy) – f(x,y).
8. Interpréter le signe et l’amplitude. Une variation positive signifie une hausse locale, une variation négative une baisse locale.

Erreurs fréquentes en calcul différentiel avec ln x et y

• Confondre ln(xy) avec ln(x)ln(y), ce qui est faux.
• Oublier le signe moins dans ln(x/y) = ln(x) – ln(y).
• Calculer des dérivées partielles correctes mais oublier d’évaluer au point demandé.
• Utiliser le différentiel alors que les accroissements sont trop grands pour une approximation fiable.
• Négliger les conditions de positivité imposées par le logarithme.
• Écrire df = d(ln x) + d(ln y) sans expliciter ensuite 1/x dx et 1/y dy.

Interprétation géométrique et intérêt pratique

Géométriquement, le différentiel représente l’approximation par le plan tangent au graphe de la fonction au voisinage du point étudié. Pour une fonction de deux variables, ce plan tangent donne une estimation locale de la surface réelle. Dans un exercice de “calcul differentiel ln x y exercice corrigé”, cela signifie que l’on remplace localement une fonction courbe par un modèle affine plus simple.

Cette idée n’est pas seulement théorique. On la retrouve en métrologie, en sciences de l’ingénieur, en économie et en traitement de données, lorsque l’on veut estimer rapidement l’effet de petites variations relatives. Le logarithme est particulièrement adapté à ce type d’analyse, car sa dérivée 1/x traduit naturellement une sensibilité relative. Une variation dx sur une grandeur x influence la fonction à travers le rapport dx/x. C’est pourquoi les fonctions logarithmiques apparaissent souvent dans les modèles où l’on mesure des pourcentages, des élasticités ou des ordres de grandeur.

Comment utiliser le calculateur ci dessus efficacement

Le calculateur de cette page a été conçu pour aller au delà d’une simple réponse numérique. Il vous permet de choisir la structure de la fonction, de saisir vos valeurs, puis d’obtenir :

• la formule symbolique du différentiel ;
• les dérivées partielles au point choisi ;
• la valeur de l’approximation différentielle ;
• la variation exacte ;
• l’erreur absolue et l’erreur relative ;
• un graphique montrant la différence entre l’approximation linéaire et la trajectoire exacte quand on passe progressivement de (x,y) à (x + dx, y + dy).

Le graphique est très pédagogique. Si les deux courbes sont proches, cela signifie que l’approximation différentielle est de bonne qualité. Si elles s’écartent sensiblement, il faut conclure que les accroissements sont trop importants ou que la fonction présente une courbure locale plus marquée sur l’intervalle considéré.

Ressources d’autorité pour approfondir

Si vous souhaitez consolider vos bases avec des sources académiques et institutionnelles fiables, consultez les références suivantes :

MIT OpenCourseWare – Multivariable Calculus Lamar University – Partial Derivatives and Multivariable Calculus Notes NIST – Error propagation and differential approximation

Conclusion

Maîtriser le sujet “calcul differentiel ln x y exercice corrigé” revient à combiner trois savoir-faire : reconnaître la forme logarithmique, calculer correctement les dérivées partielles, puis interpréter le différentiel comme approximation locale. Les cas ln(xy), ln(x/y) et a ln(x) + b ln(y) couvrent déjà une très grande partie des exercices standards. Une fois les formules bien assimilées, l’essentiel du travail consiste à rester rigoureux sur le domaine de définition, le signe des termes et la comparaison entre valeur approchée et variation exacte.

En pratique, retenez surtout que le différentiel total est un outil local, rapide et très puissant. Il permet d’obtenir une estimation immédiate de l’effet de petites variations de x et y sur une fonction logarithmique. Si vous combinez cette théorie avec des vérifications numériques, comme celles proposées par le calculateur et le graphique de cette page, vous développerez une compréhension beaucoup plus solide et opérationnelle du calcul différentiel à deux variables.

Conseil méthodologique : dans une copie, présentez toujours le domaine, les dérivées partielles, la formule de df, l’évaluation au point, puis la substitution de dx et dy. Cette structure simple donne une solution claire, correcte et facile à noter.