Calcul dérivé de ln x 2
Calculez instantanément la dérivée de la fonction f(x) = (ln x)^2, obtenez la valeur numérique en un point, visualisez la courbe de la fonction et celle de sa dérivée, puis approfondissez avec un guide expert complet sur les règles de dérivation logarithmique.
Calculatrice interactive
Dérivée exacte : f'(x) = 2 ln(x) / x
Guide expert : comprendre le calcul dérivé de ln x 2
Le sujet du calcul dérivé de ln x 2 prête souvent à confusion parce que l’écriture peut être interprétée de plusieurs manières. En pratique, lorsqu’un élève, un étudiant ou un internaute recherche cette expression, il veut généralement dériver la fonction (ln x)2, c’est-à-dire le carré du logarithme népérien. Cette fonction apparaît régulièrement en analyse, en optimisation, en probabilités, en économie mathématique et dans de nombreux exercices de calcul différentiel. La bonne nouvelle, c’est que sa dérivation est directe dès qu’on combine deux outils fondamentaux : la dérivée de ln x et la règle de la chaîne.
Partons de la fonction suivante :
f(x) = (ln x)2, pour x > 0
Comme le logarithme népérien n’est défini que sur les réels strictement positifs, le domaine de définition de la fonction est ]0 ; +∞[. C’est la première vérification à faire avant toute dérivation. On ne peut pas calculer f(0), ni ln(-3), ni la dérivée en ces points dans le cadre réel classique.
Étape 1 : reconnaître une fonction composée
La structure de la fonction est simple à identifier si l’on écrit :
- fonction extérieure : u ↦ u2
- fonction intérieure : x ↦ ln x
Autrement dit, f(x) = [u(x)]2 avec u(x) = ln x. Dès lors, on applique la formule générale :
si f(x) = [u(x)]2, alors f'(x) = 2u(x)u'(x)
Étape 2 : utiliser la dérivée du logarithme népérien
On sait que :
(ln x)’ = 1/x pour tout x > 0
En remplaçant u(x) par ln x, on obtient :
f'(x) = 2 ln(x) × 1/x = 2 ln(x)/x
Voilà le résultat exact :
La dérivée de (ln x)2 est 2 ln(x) / x
Pourquoi cette formule est importante
Cette dérivée donne immédiatement des informations sur le comportement de la fonction. Comme le dénominateur x est toujours positif sur le domaine, le signe de la dérivée dépend uniquement de ln x :
- si 0 < x < 1, alors ln x < 0 donc f'(x) < 0
- si x = 1, alors ln 1 = 0 donc f'(1) = 0
- si x > 1, alors ln x > 0 donc f'(x) > 0
On en déduit que f(x) = (ln x)2 est décroissante sur ]0,1] puis croissante sur [1,+∞[. Son minimum global est atteint en x = 1 et vaut 0.
| Valeur réelle de x | ln(x) | (ln x)2 | f'(x) = 2 ln(x)/x | Interprétation |
|---|---|---|---|---|
| 0,5 | -0,6931 | 0,4805 | -2,7726 | Pente négative marquée |
| 1 | 0 | 0 | 0 | Minimum de la fonction |
| 2 | 0,6931 | 0,4805 | 0,6931 | La fonction recommence à croître |
| 5 | 1,6094 | 2,5903 | 0,6438 | Croissance positive mais modérée |
| 10 | 2,3026 | 5,3019 | 0,4605 | La pente reste positive mais diminue |
Interprétation graphique de la dérivée
La dérivée représente le taux de variation instantané. Pour (ln x)2, il est intéressant de noter que la pente devient très négative quand x est très proche de 0 à droite, puis remonte vers 0 à mesure que l’on s’approche de 1. Après 1, la pente devient positive, atteint un niveau modéré, puis tend progressivement vers 0 lorsque x devient très grand. Cela signifie que la fonction continue de croître, mais de plus en plus lentement relativement au facteur 1/x.
Erreur classique : confondre (ln x)2 et ln(x2)
C’est probablement la source d’erreur la plus fréquente. Comparons :
- (ln x)2 signifie le carré de ln(x)
- ln(x2) signifie le logarithme de x²
Ces fonctions ne sont pas identiques. En effet, pour x > 0, on a :
ln(x2) = 2 ln x
Alors que :
(ln x)2 = [ln x] × [ln x]
Leurs dérivées diffèrent donc totalement :
- d/dx[(ln x)2] = 2 ln(x)/x
- d/dx[ln(x2)] = 2/x pour x > 0
| Expression | Nature | Dérivée | Domaine réel usuel | Observation |
|---|---|---|---|---|
| (ln x)2 | Carré d’une fonction logarithmique | 2 ln(x)/x | x > 0 | Utilise la règle de la chaîne |
| ln(x2) | Logarithme d’une puissance | 2/x pour x > 0 | x ≠ 0 si on raisonne sur ln(x²) | Peut s’écrire ln(x²) = 2 ln|x| si x ≠ 0 |
| 2 ln x | Constante multipliant ln x | 2/x | x > 0 | Identique à ln(x²) seulement si x > 0 |
Calcul détaillé avec un exemple numérique
Prenons x = 2. On veut calculer la dérivée de (ln x)2 en ce point :
- On calcule d’abord ln 2 ≈ 0,6931
- On applique la formule f'(x) = 2 ln(x)/x
- Donc f'(2) = 2 × 0,6931 / 2 = 0,6931
La pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2 est donc d’environ 0,6931. Cela signifie que, localement, si x augmente légèrement à partir de 2, la valeur de la fonction augmente d’environ 0,6931 unité pour une variation de 1 unité de x.
Méthode alternative par développement symbolique
On peut également écrire la fonction comme un produit :
(ln x)2 = ln x × ln x
En appliquant la règle du produit :
(uv)’ = u’v + uv’
Avec u = ln x et v = ln x, on obtient :
f'(x) = (1/x)ln x + ln x(1/x) = 2 ln(x)/x
On retrouve exactement le même résultat. Cette seconde méthode est très utile pour vérifier un calcul et éviter les erreurs de raisonnement.
Étude du signe et variations
L’étude du signe de la dérivée permet d’établir le tableau de variations complet :
- sur ]0,1[, f'(x) < 0, donc la fonction décroît
- en x = 1, f'(x) = 0, point critique
- sur ]1,+∞[, f'(x) > 0, donc la fonction croît
Comme (ln x)2 est toujours positive ou nulle, la valeur minimale 0 est atteinte lorsque ln x = 0, c’est-à-dire pour x = 1. Cette propriété est très utilisée dans les problèmes d’optimisation, car elle transforme un problème logarithmique en une condition très simple.
Comportement limite
Pour aller plus loin, observons le comportement de la fonction et de sa dérivée aux extrémités du domaine :
- quand x → 0+, ln x → -∞, donc (ln x)2 → +∞
- quand x → +∞, ln x → +∞, donc (ln x)2 → +∞
- quand x → +∞, la dérivée 2 ln(x)/x → 0
Ce dernier point est très instructif : la fonction tend bien vers l’infini, mais sa pente devient de plus en plus faible. C’est le comportement typique d’une croissance logarithmique ou quasi logarithmique : elle reste non bornée, tout en augmentant lentement.
Applications concrètes
- analyse asymptotique d’algorithmes
- modèles d’information et d’entropie
- optimisation avec transformations logarithmiques
- statistiques avec variables transformées
- économie quantitative
- études de convexité et d’élasticité
Dans les sciences des données, les transformations logarithmiques sont utilisées pour stabiliser des variances ou comprimer l’échelle de valeurs. Dès qu’un modèle inclut une expression du type (ln x)2, la dérivée 2 ln(x)/x intervient dans les méthodes de gradient, les approximations locales, les sensibilités de paramètres et les développements limités.
Conseils pour ne plus se tromper
- Vérifiez toujours le domaine avant de dériver.
- Repérez la structure : puissance, produit, quotient ou composition.
- Écrivez la formule intermédiaire : 2u(x)u'(x).
- Remplacez ensuite seulement u(x) par ln x.
- Testez votre résultat en x = 1 : si vous obtenez autre chose que 0 pour (ln x)2, il y a probablement une erreur.
Références académiques et institutionnelles
Pour approfondir les logarithmes, les dérivées et les méthodes de calcul différentiel, vous pouvez consulter ces ressources fiables :
- MIT OpenCourseWare (.edu)
- Lamar University, dérivation des fonctions logarithmiques (.edu)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (.gov)
Conclusion
Retenez l’idée centrale : pour f(x) = (ln x)2, la dérivée est f'(x) = 2 ln(x)/x. Ce résultat provient directement de la règle de la chaîne appliquée au carré d’une fonction logarithmique. Sur le domaine x > 0, la dérivée change de signe au point x = 1, ce qui explique que la fonction décroît puis croît, avec un minimum en 1. Si vous utilisez la calculatrice ci-dessus, vous pouvez non seulement obtenir la valeur exacte et numérique de la dérivée, mais aussi visualiser son comportement sur un intervalle de votre choix. C’est la meilleure manière de transformer une formule abstraite en intuition concrète.