Calcul De La Primitive De Ln X Exo Corrige

Utilisez ce calculateur premium pour trouver la primitive de ln(x), évaluer la fonction primitive en un point, et calculer une intégrale définie entre deux bornes positives. L’outil affiche aussi une correction détaillée pas à pas et un graphique comparant ln(x) et sa primitive.

Comprendre le calcul de la primitive de ln x : méthode, exo corrigé et pièges à éviter

La recherche de la primitive de ln(x) est un classique des exercices de calcul intégral au lycée et dans le supérieur. Beaucoup d’élèves savent dériver le logarithme népérien, mais se demandent comment intégrer ln(x) lorsqu’aucune formule immédiate ne semble disponible. La bonne réponse repose sur une idée fondamentale de l’analyse : l’intégration par parties. Quand on maîtrise cette méthode, l’exercice devient non seulement faisable, mais aussi très formateur, parce qu’il oblige à faire le lien entre dérivation, intégration et domaine de définition.

Le résultat à retenir est simple : pour tout x > 0, une primitive de ln(x) est F(x) = x ln(x) – x + C. Le point essentiel n’est pas seulement de connaître la formule, mais de comprendre d’où elle vient et comment la réutiliser dans un exo corrigé, un calcul d’intégrale définie, une vérification par dérivation, ou un exercice plus avancé comportant un changement de variable.

Pourquoi la primitive de ln(x) n’est pas immédiate

Quand on apprend les primitives usuelles, on mémorise vite des formes comme :

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C, si n ≠ -1
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫1/x dx = ln|x| + C

En revanche, il n’existe pas de formule de primitive “directe” pour ln(x) parmi les tout premiers modèles appris. C’est précisément la raison pour laquelle cet exercice apparaît souvent dans les sujets d’entraînement. Il permet d’évaluer si l’élève sait identifier la bonne technique.

L’idée est de réécrire l’intégrale sous la forme :

∫ln(x) dx = ∫ln(x) × 1 dx

Cette écriture est très utile, car elle suggère l’intégration par parties en prenant une fonction facile à dériver, u = ln(x), et une fonction facile à intégrer, dv = dx.

Méthode complète avec intégration par parties

Étape 1 : choisir u et dv

On pose :

• u = ln(x), donc du = (1/x) dx
• dv = dx, donc v = x

Étape 2 : appliquer la formule

La formule d’intégration par parties est :

∫u dv = uv – ∫v du

En remplaçant, on obtient :

∫ln(x) dx = x ln(x) – ∫x × (1/x) dx

Comme x × (1/x) = 1, cela donne :

∫ln(x) dx = x ln(x) – ∫1 dx

Enfin :

∫ln(x) dx = x ln(x) – x + C

Astuce de mémorisation : la primitive de ln(x) se retient bien sous la forme x[ln(x) – 1] + C.

Exo corrigé : calculer la primitive de ln(x) puis vérifier le résultat

Considérons l’exercice suivant : déterminer une primitive de f(x) = ln(x) sur ]0 ; +∞[.

1. On remarque que le domaine est bien x > 0, car le logarithme népérien n’est défini que sur les réels strictement positifs.
2. On écrit ∫ln(x) dx = ∫ln(x) · 1 dx.
3. On effectue une intégration par parties avec u = ln(x) et dv = dx.
4. On en déduit F(x) = x ln(x) – x + C.
5. On vérifie par dérivation :

F'(x) = (x ln(x))’ – (x)’ = ln(x) + 1 – 1 = ln(x)

Le résultat est donc correct. Cette dernière étape de vérification est essentielle dans un exo corrigé sérieux : une primitive se valide toujours en dérivant.

Valeurs numériques utiles pour contrôler un exercice

Dans les devoirs, il est souvent utile de vérifier numériquement une primitive en quelques points. Le tableau suivant compare la fonction ln(x) et sa primitive principale F(x) = x ln(x) – x, c’est-à-dire avec C = 0.

x	ln(x)	F(x) = x ln(x) – x	Lecture pédagogique
0,5	-0,6931	-0,8466	Le logarithme est négatif pour 0 < x < 1.
1	0	-1,0000	Comme ln(1) = 0, la pente locale vaut 0 en x = 1.
2	0,6931	-0,6137	La primitive continue d’augmenter car sa dérivée vaut ln(2) > 0.
e ≈ 2,7183	1,0000	0,0000	Point remarquable : F(e) = e·1 – e = 0.
5	1,6094	3,0472	La croissance de F devient plus visible pour les grandes valeurs de x.

Ces données numériques sont très pratiques pour repérer une erreur de signe. Par exemple, si un élève obtient x ln(x) + x + C, la dérivation donnerait ln(x) + 2, ce qui ne correspond pas à l’énoncé. Un simple contrôle sur un point permet déjà de détecter l’incohérence.

Passer de la primitive à l’intégrale définie

Une fois la primitive connue, le calcul d’une intégrale définie devient très rapide. Si 0 < a < b, alors :

∫_a^b ln(x) dx = [x ln(x) – x]_a^b

Autrement dit :

∫_a^b ln(x) dx = (b ln(b) – b) – (a ln(a) – a)

Exemple corrigé

Calculons ∫₁^e ln(x) dx.

• F(e) = e ln(e) – e = e – e = 0
• F(1) = 1·ln(1) – 1 = 0 – 1 = -1

Donc :

∫₁^e ln(x) dx = 0 – (-1) = 1

C’est un résultat classique, élégant et souvent utilisé dans les exercices de révision.

Intervalle	Expression exacte	Valeur approchée	Interprétation
[1 ; e]	1	1,0000	Aire algébrique positive remarquable.
[1 ; 2]	2ln(2) – 1	0,3863	Faible aire positive car ln(x) reste modéré.
[0,5 ; 1]	0,5 – 0,5ln(2)	-0,1534	Négative, car ln(x) < 0 sur cet intervalle.
[1 ; 3]	3ln(3) – 2	1,2958	La contribution positive augmente avec b.

Erreurs fréquentes dans un exercice sur la primitive de ln(x)

1. Oublier le domaine x > 0

C’est l’erreur la plus courante. La fonction ln(x) n’existe pas pour x ≤ 0 sur les réels. Toute primitive réelle doit donc être considérée sur un intervalle inclus dans ]0 ; +∞[.

2. Confondre primitive de ln(x) et primitive de 1/x

Beaucoup d’élèves répondent trop vite ln|x| + C, qui est en réalité une primitive de 1/x, pas de ln(x). Cette confusion est typique lorsque les formules ne sont pas reliées à une vérification par dérivation.

3. Se tromper dans l’intégration par parties

Le signe “moins” dans la formule uv – ∫vdu est fondamental. Une erreur de signe change complètement la réponse finale.

4. Oublier la constante d’intégration

Dans une primitive indéfinie, il faut écrire + C. Pour une intégrale définie, cette constante disparaît lors du calcul entre les bornes, mais elle est indispensable dans la primitive générale.

Comment présenter un exo corrigé de façon parfaite

Si vous souhaitez rédiger une solution propre, claire et valorisée par un correcteur, voici une structure efficace :

1. Préciser le domaine : sur ]0 ; +∞[.
2. Écrire l’intégrale à calculer : ∫ln(x) dx.
3. Introduire l’intégration par parties en justifiant le choix de u et dv.
4. Calculer du et v.
5. Appliquer la formule sans sauter d’étape.
6. Simplifier : x × 1/x = 1.
7. Conclure avec la primitive : x ln(x) – x + C.
8. Vérifier par dérivation.

Cette méthode rassure le lecteur, met en évidence la logique du raisonnement, et limite fortement les erreurs.

Interprétation graphique de la primitive de ln(x)

Le graphique du calculateur est utile pour comprendre le sens du résultat. La courbe de ln(x) passe par (1, 0), est négative entre 0 et 1, puis croît lentement après 1. Comme la dérivée de la primitive est ln(x), cela signifie :

• la primitive décroît là où ln(x) < 0, donc pour 0 < x < 1 ;
• elle a une tangente horizontale en x = 1 ;
• elle croît pour x > 1.

Cette lecture graphique aide énormément à comprendre pourquoi certaines intégrales définies sont négatives et d’autres positives. Elle permet aussi de relier une formule algébrique à une variation concrète.

Applications classiques autour de ln(x)

La primitive de ln(x) intervient dans de nombreux contextes :

• calcul d’aires algébriques ;
• étude de fonctions contenant x ln(x) ;
• problèmes d’optimisation ;
• preuves d’inégalités logarithmiques ;
• modèles en physique, information et économie où le logarithme apparaît naturellement.

Dans le supérieur, on rencontre aussi des variantes comme ∫ln(ax+b) dx, ∫x ln(x) dx ou ∫(ln x)/x dx. La clé est toujours de reconnaître la structure et de choisir la bonne méthode : intégration par parties, substitution, ou combinaison des deux.

Ressources académiques et institutionnelles pour approfondir

Si vous souhaitez consolider votre compréhension du calcul intégral et du logarithme népérien avec des ressources de confiance, vous pouvez consulter :

• MIT OpenCourseWare – Single Variable Calculus
• Dartmouth College – Calculus materials
• NIST – référence institutionnelle en sciences et méthodes quantitatives

Ces sources sont utiles pour revoir les fondements du calcul différentiel et intégral, avec un niveau de rigueur adapté à l’enseignement supérieur ou à la préparation d’examens exigeants.

À retenir absolument

Pour réussir un exercice sur le calcul de la primitive de ln x, il faut retenir quatre idées simples :

1. Le domaine réel est x > 0.
2. La bonne méthode est l’intégration par parties.
3. La formule correcte est ∫ln(x)dx = xln(x) – x + C.
4. Une primitive se valide toujours par dérivation.

Avec cette base, vous pouvez traiter la plupart des exercices scolaires et universitaires sur le sujet. Le calculateur ci-dessus vous permet de vérifier vos réponses, d’obtenir une correction rapide, et de visualiser le comportement de la fonction sur un graphique clair et réactif.