Calcul De La Pouss E Des Terres Au Repos

Estimez le coefficient K0, la pression horizontale en tête et en pied, ainsi que la résultante de poussée par mètre linéaire de mur pour un sol homogène soumis à son propre poids et à une surcharge uniforme.

Guide expert du calcul de la poussée des terres au repos

Le calcul de la poussée des terres au repos est une étape essentielle du dimensionnement géotechnique des ouvrages de soutènement peu déformables, des murs de sous-sol, des voiles enterrés, des culées, des cadres en béton et des structures enterrées rigides. Contrairement à la poussée active, qui suppose un déplacement suffisant de la paroi pour mobiliser une détente latérale du massif, l’état au repos correspond à une situation où le sol ne peut quasiment pas se déformer horizontalement. La contrainte horizontale naturelle n’est alors ni minimale, ni maximale, mais intermédiaire. Elle est classiquement décrite par le coefficient de poussée des terres au repos, noté K0.

Dans sa forme la plus simple, pour un remblai horizontal, homogène, sec ou assimilé à un milieu sans pression d’eau indépendante, et soumis à une surcharge uniforme q, la contrainte horizontale à une profondeur z s’écrit :

σh(z) = K0 × (γ × z + q)

où γ est le poids volumique du sol en kN/m³, z la profondeur en mètres, q la surcharge uniforme en kPa et K0 le coefficient de pression au repos. La poussée résultante sur une hauteur H de mur, exprimée par mètre linéaire d’ouvrage, vaut alors :

P0 = 0,5 × K0 × γ × H² + K0 × q × H

Cette page vous permet d’obtenir immédiatement les grandeurs utiles au pré-dimensionnement : coefficient K0, pression en tête, pression en pied, part triangulaire due au poids propre, part rectangulaire due à la surcharge et résultante totale. Pour un projet réel, le calcul doit naturellement être complété par l’analyse des eaux, des surcharges localisées, de la stratigraphie, des phases de chantier, des effets sismiques et des exigences normatives en vigueur.

1. Que signifie exactement l’état de poussée au repos ?

L’état au repos correspond à un état de contraintes latérales dans lequel le massif n’a pas subi de déformation horizontale suffisante pour mobiliser un état actif ou passif. En pratique, cet état se rencontre dans plusieurs cas :

• murs de sous-sol fortement contreventés par les planchers,
• parois moulées ou voiles enterrés très rigides,
• ouvrages où les déplacements horizontaux sont limités par la structure,
• sols naturels avant excavation, lorsque l’on cherche à décrire l’état initial des contraintes.

Il s’agit donc d’un état fondamental en géotechnique, souvent plus réaliste que la poussée active pour les structures rigides. Une erreur fréquente consiste à utiliser Ka à la place de K0 pour des ouvrages peu déformables. Cette hypothèse peut sous-estimer les sollicitations latérales, et donc conduire à un ferraillage ou à une épaisseur d’ouvrage insuffisants.

2. Formules usuelles pour K0

La relation la plus connue pour les sols normalement consolidés est la formule de Jaky :

K0 = 1 – sin φ

Cette expression est remarquablement utilisée en pratique pour les sols granulaires et de nombreux sols fins dans des conditions ordinaires de consolidation. Pour les sols surconsolidés, une approximation courante est :

K0(OC) = (1 – sin φ) × OCR^(sin φ)

OCR désigne le rapport de surconsolidation. Plus OCR est élevé, plus les contraintes horizontales au repos peuvent être importantes. Cette évolution est particulièrement importante dans les argiles ayant subi un historique de chargement puis de déchargement. Sur le terrain, cela peut conduire à des pressions latérales nettement supérieures à celles d’un sol normalement consolidé de même angle de frottement.

3. Influence des paramètres d’entrée

Le calcul est très sensible à quelques paramètres clés :

1. Hauteur H : la part due au poids propre varie avec H². Doubler la hauteur de remblai augmente fortement la résultante.
2. Poids volumique γ : un remblai dense ou saturé accroît les contraintes verticales et donc la poussée horizontale.
3. Angle de frottement φ : plus φ est élevé, plus K0 de Jaky diminue, ce qui réduit les pressions latérales dans le cas normalement consolidé.
4. Surcharge q : elle ajoute une composante uniforme de pression horizontale sur toute la hauteur.
5. OCR : en surconsolidation, l’effet sur K0 peut devenir majeur.

Ces paramètres doivent provenir d’une reconnaissance géotechnique sérieuse : essais pressiométriques, essais triaxiaux, essais œdométriques, corrélations pénétrométriques et interprétation géologique du site. Plus l’ouvrage est sensible, plus la qualité des données doit être élevée.

4. Valeurs indicatives de K0 selon l’angle de frottement

Le tableau suivant présente des valeurs typiques obtenues avec la relation de Jaky pour des sols normalement consolidés. Il s’agit d’ordres de grandeur utiles pour les études préliminaires.

Type de sol indicatif	Angle φ (°)	sin φ	K0 = 1 – sin φ	Lecture pratique
Argile molle à limon	20	0.342	0.658	Pression latérale relativement élevée
Limon compact	25	0.423	0.577	État intermédiaire fréquent
Sable moyen	30	0.500	0.500	Cas de référence courant
Sable dense	35	0.574	0.426	Réduction sensible de K0
Grave dense	40	0.643	0.357	Poussée au repos plus modérée

On observe ici une tendance forte : lorsque φ augmente de 20° à 40°, la valeur indicative de K0 chute de 0,658 à 0,357, soit une réduction d’environ 46 %. Cette différence explique pourquoi la caractérisation géotechnique du matériau de remblai ou du terrain en place est si déterminante.

5. Comparaison entre poussée au repos et poussée active

Pour un remblai horizontal sans cohésion, la théorie de Rankine fournit le coefficient actif :

Ka = tan²(45° – φ/2)

Le tableau ci dessous montre l’écart entre Ka et K0 pour quelques valeurs usuelles de φ. Les statistiques sont calculées à partir des formules classiques, et illustrent à quel point l’utilisation de Ka à la place de K0 peut sous-estimer les efforts.

φ (°)	K0 de Jaky	Ka de Rankine	Écart relatif de K0 par rapport à Ka	Conséquence pratique
25	0.577	0.406	+42 %	Mur rigide bien plus sollicité que sous hypothèse active
30	0.500	0.333	+50 %	Sous estimation importante si Ka est utilisé
35	0.426	0.271	+57 %	Écart croissant avec la densité du matériau
40	0.357	0.217	+65 %	Vérification structurelle impérative pour ouvrage peu déformable

Ces chiffres montrent que l’état au repos peut être largement supérieur à l’état actif, en particulier pour les matériaux à fort angle de frottement. C’est une donnée déterminante pour les voiles enterrés maintenus par les planchers ou pour les ouvrages où les déplacements sont volontairement limités.

6. Exemple de calcul complet

Considérons un mur enterré de 5 m de hauteur retenant un remblai homogène de poids volumique 18 kN/m³, avec un angle de frottement de 30° et une surcharge uniforme de 10 kPa. On suppose un sol normalement consolidé.

1. Calcul de K0 : sin 30° = 0,5 donc K0 = 1 – 0,5 = 0,5.
2. Pression horizontale en tête : σh(0) = 0,5 × 10 = 5 kPa.
3. Pression horizontale en pied : σh(H) = 0,5 × (18 × 5 + 10) = 50 kPa.
4. Résultante due au poids propre : 0,5 × 0,5 × 18 × 5² = 112,5 kN/m.
5. Résultante due à la surcharge : 0,5 × 10 × 5 = 25,0 kN/m.
6. Résultante totale : 137,5 kN/m.

Le diagramme de pression n’est pas purement triangulaire car la surcharge ajoute un rectangle uniforme. La résultante totale agit à une position qu’il convient de déterminer précisément si l’on réalise un calcul de moment détaillé pour la section du voile ou pour la vérification de stabilité externe. Dans un cadre de pré-dimensionnement, la résultante totale est déjà une information extrêmement utile.

7. Cas particuliers à ne pas négliger

• Nappe phréatique : la pression de l’eau s’ajoute séparément. Il faut travailler en contraintes effectives pour le squelette du sol, puis additionner la poussée hydrostatique.
• Sols multicouches : chaque couche peut avoir son propre γ, φ et historique de consolidation. Un calcul par tronçons devient préférable.
• Surcharges ponctuelles ou bandes de charge : elles ne peuvent pas être assimilées à une surcharge uniforme sans justification.
• Inclinaison du terrain : le coefficient de poussée change et les formules simplifiées de remblai horizontal ne suffisent plus.
• Effets sismiques : ils peuvent augmenter fortement les pressions latérales et doivent être traités selon les recommandations applicables au projet.
• Cohésion apparente : en soutènement permanent, il est prudent de rester très réservé sur sa prise en compte.

8. Interprétation des résultats du calculateur

Le calculateur affiche plusieurs sorties :

• K0 : le coefficient de pression des terres au repos retenu pour le calcul.
• σh en tête : pression horizontale à z = 0, généralement égale à K0 × q si une surcharge est présente.
• σh en pied : pression horizontale maximale à la base du mur.
• Poussée due au sol : composante triangulaire liée au poids propre.
• Poussée due à la surcharge : composante rectangulaire liée à q.
• Poussée totale : somme des deux composantes, en kN/m.

Le graphique associé permet de visualiser instantanément l’évolution de la contrainte horizontale avec la profondeur. C’est utile pour vérifier la cohérence des hypothèses et communiquer simplement avec le bureau structure ou l’équipe de conception.

9. Bonnes pratiques de conception

Pour un projet sérieux, l’ingénieur ne s’arrête jamais au seul calcul de poussée. Il faut enchaîner avec la stabilité au glissement, le renversement, la portance, les tassements, la résistance interne de la section, la fissuration, la durabilité, les phases provisoires et l’environnement hydrogéologique. Il est également recommandé de vérifier si l’ouvrage peut réellement mobiliser un état au repos sur toute sa hauteur, ou si certaines zones peuvent s’approcher d’un état actif ou d’un état de redistribution sous l’effet des déformations différentielles.

Dans les ouvrages enterrés en béton armé, les hypothèses de rigidité relative entre le mur, les planchers et le sol jouent un rôle majeur. Le calcul doit idéalement être cohérent avec le modèle structurel global. En phase d’exécution, le phasage est souvent déterminant : une paroi peut connaître temporairement des états de contraintes différents avant la mise en service définitive.

10. Sources techniques utiles

Pour approfondir, vous pouvez consulter des ressources reconnues provenant d’institutions publiques et universitaires :

• Federal Highway Administration, FHWA : guides de conception géotechnique et de soutènement routier.
• California Department of Transportation, Caltrans Geotechnical Services : manuels techniques et recommandations de conception.
• MIT OpenCourseWare : supports universitaires en mécanique des sols et géotechnique.

11. En résumé

Le calcul de la poussée des terres au repos est central dès qu’un ouvrage enterré présente une rigidité suffisante pour limiter les déplacements latéraux. Dans ce contexte, la formule de Jaky fournit une base robuste pour les sols normalement consolidés, tandis que l’intégration de l’OCR améliore la représentativité des sols surconsolidés. En combinant K0, le poids volumique du sol, la hauteur de remblai et les surcharges, on obtient une estimation claire des pressions horizontales et de la résultante appliquée au mur.

Le calculateur ci dessus constitue un excellent outil d’avant projet et de vérification rapide. Il ne remplace pas une étude géotechnique complète, mais il permet d’aller vite, avec des hypothèses transparentes et des résultats immédiatement exploitables.