Calcul de dérivée: f(x) = 1 / (x – 1)2
Utilisez ce calculateur premium pour déterminer la dérivée de la fonction f(x) = 1 / (x – 1)2, évaluer sa pente en un point précis, et visualiser simultanément la courbe de la fonction et celle de sa dérivée. Le cas classique recherché ici est la valeur en x = 2, pour laquelle la dérivée vaut -2.
Calculateur interactif
Renseignez le point d’évaluation et la fenêtre d’affichage du graphique. Le calcul est effectué pour la fonction fixe f(x) = 1 / (x – 1)2.
Dérivée: f'(x) = -2 / (x – 1)3
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Comprendre le calcul de dérivée de f(x) = 1 / (x – 1)2
Le thème de cette page est le calcul de dérivée appliqué à la fonction f(x) = 1 / (x – 1)2. En notation exponentielle, on réécrit souvent cette expression sous la forme f(x) = (x – 1)-2. Cette écriture est particulièrement utile, car elle permet d’appliquer directement les règles de dérivation les plus importantes du programme de lycée et de début d’université: la règle de la puissance et la règle de la chaîne.
La requête “calcul de dérivée f x 1 x-1 2 2” est fréquemment associée au cas où l’on cherche à déterminer la dérivée de la fonction puis à l’évaluer au point x = 2. C’est un exemple pédagogique classique, car le résultat final est simple, élégant et révélateur: f'(2) = -2. Mais pour bien maîtriser ce résultat, il faut comprendre non seulement le calcul symbolique, mais aussi son interprétation graphique et son sens physique éventuel en termes de vitesse de variation.
Réécriture utile avant de dériver
Avant toute dérivation, la première bonne pratique est de transformer la fraction en puissance négative:
- f(x) = 1 / (x – 1)2
- f(x) = (x – 1)-2
Cette étape rend le calcul plus propre. La fonction intérieure est u(x) = x – 1, tandis que la fonction extérieure est u-2. On est donc face à une composition de fonctions.
Application de la règle de la chaîne
La règle de la chaîne affirme que si f(x) = [u(x)]n, alors:
f'(x) = n[u(x)]n-1 × u'(x)
Ici, on a:
- u(x) = x – 1
- u'(x) = 1
- n = -2
En appliquant la formule:
f'(x) = -2(x – 1)-3 × 1
Donc:
f'(x) = -2(x – 1)-3 = -2 / (x – 1)3
Évaluation au point x = 2
Une fois la dérivée trouvée, on peut calculer sa valeur au point x = 2. Il suffit de remplacer x par 2:
f'(2) = -2 / (2 – 1)3
f'(2) = -2 / 13 = -2
Cela signifie qu’au point d’abscisse 2, la pente de la tangente à la courbe de f est égale à -2. La fonction y est donc décroissante, et sa variation instantanée est relativement marquée. C’est précisément ce que votre graphique interactif met en évidence.
Valeur de la fonction au même point
Il est aussi utile de calculer la valeur de la fonction elle-même en x = 2:
f(2) = 1 / (2 – 1)2 = 1
Le point étudié sur la courbe est donc (2, 1), et la tangente à cet endroit possède une pente de -2.
| Valeur de x | f(x) = 1 / (x – 1)2 | f'(x) = -2 / (x – 1)3 | Interprétation |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.0000 | 2.0000 | La fonction est positive et croît localement. |
| 0.5 | 4.0000 | 16.0000 | Très forte croissance quand x approche 1 par la gauche. |
| 2 | 1.0000 | -2.0000 | Le point demandé dans l’exercice standard. |
| 3 | 0.2500 | -0.2500 | La fonction décroît mais plus lentement. |
| 4 | 0.1111 | -0.0741 | La pente devient faible loin de la singularité. |
Domaine de définition et point interdit
La fonction f(x) = 1 / (x – 1)2 n’est pas définie en x = 1, car le dénominateur y devient nul. Cette valeur est exclue du domaine. On écrit donc:
Df = ℝ \ {1}
De la même façon, la dérivée f'(x) = -2 / (x – 1)3 n’est pas définie en x = 1. La courbe de la fonction possède une asymptote verticale en x = 1, et la courbe de la dérivée aussi. C’est pourquoi un bon calculateur graphique doit éviter de relier artificiellement les points situés de part et d’autre de cette singularité.
Pourquoi le signe de la dérivée change
Le signe de la dérivée dépend du signe de (x – 1)3:
- Si x < 1, alors (x – 1)3 < 0, donc f'(x) > 0.
- Si x > 1, alors (x – 1)3 > 0, donc f'(x) < 0.
Autrement dit, la fonction est croissante sur (-∞, 1) et décroissante sur (1, +∞). Cette conclusion est cohérente avec l’allure visuelle de la courbe: elle monte très vite vers +∞ à gauche de 1, puis redescend depuis +∞ à droite de 1.
Méthode alternative par quotient
On peut aussi voir la fonction comme un quotient, mais cette méthode est moins directe. Si l’on pose f(x) = 1 / (x – 1)2, la forme en puissance négative reste de loin la plus efficace. En contexte d’examen, elle permet de gagner du temps et de réduire le risque d’erreur algébrique.
Erreurs courantes à éviter
- Écrire f'(x) = -2 / (x – 1)2 au lieu de la puissance 3 au dénominateur.
- Oublier que (x – 1)’ = 1.
- Essayer d’évaluer la fonction ou la dérivée en x = 1.
- Confondre f(2) et f'(2).
- Perdre le signe négatif lors de la dérivation.
Lecture graphique de la dérivée
La dérivée représente le taux de variation instantané de la fonction. Dans ce cas précis, elle donne la pente de la tangente à la courbe. Si la dérivée est positive, la fonction monte; si elle est négative, elle descend; si sa valeur absolue est grande, la pente est raide.
Pour x = 2, la valeur f'(2) = -2 indique une tangente descendante assez marquée. Plus près de x = 1 par la droite, la valeur de la dérivée devient très négative, ce qui signifie que la courbe chute extrêmement vite. Plus loin de 1, la dérivée se rapproche de 0, donc la courbe s’aplatit progressivement.
| h utilisé | Approximation numérique de [f(2+h)-f(2)] / h | Valeur exacte f'(2) | Erreur absolue |
|---|---|---|---|
| 0.5 | -1.1111 | -2.0000 | 0.8889 |
| 0.1 | -1.7355 | -2.0000 | 0.2645 |
| 0.01 | -1.9704 | -2.0000 | 0.0296 |
| 0.001 | -1.9970 | -2.0000 | 0.0030 |
Ce tableau illustre une idée fondamentale du calcul différentiel: quand h devient très petit, le taux d’accroissement moyen se rapproche de la dérivée exacte. C’est exactement le sens profond de la définition de la dérivée.
Étude rapide des variations
Une fois la dérivée connue, l’étude des variations devient presque automatique:
- Sur (-∞, 1), f'(x) > 0, donc f est croissante.
- Sur (1, +∞), f'(x) < 0, donc f est décroissante.
- La fonction reste toujours positive sur son domaine, car un carré au dénominateur ne peut jamais être négatif.
- Quand x → 1, f(x) → +∞.
- Quand x → ±∞, f(x) → 0.
Interprétation intuitive
Imaginez que la fonction mesure une intensité très forte à proximité de x = 1, puis qui s’affaiblit quand on s’en éloigne. Le carré au dénominateur impose une symétrie de la valeur de la fonction autour de 1, tandis que la dérivée, à cause de la puissance impaire 3 au dénominateur, porte le signe du côté où l’on se trouve: positif à gauche, négatif à droite.
Comment résoudre cet exercice sans calculateur
- Réécrire la fonction sous la forme (x – 1)-2.
- Appliquer la règle de dérivation (un)’ = n un-1 u’.
- Simplifier pour obtenir -2 / (x – 1)3.
- Évaluer au point demandé, ici x = 2.
- Conclure clairement: f'(2) = -2.
Ressources universitaires et institutionnelles pour aller plus loin
Si vous souhaitez approfondir les règles de dérivation et la lecture des courbes, consultez ces sources académiques reconnues:
- MIT OpenCourseWare – Single Variable Calculus
- The Ohio State University – Derivative as a Function
- University of California, Berkeley – Calculus course materials
Conclusion
Le calcul de dérivée de f(x) = 1 / (x – 1)2 repose sur une technique très standard, mais extrêmement formatrice. En réécrivant la fonction sous la forme (x – 1)-2, on obtient immédiatement:
f'(x) = -2 / (x – 1)3
et, en particulier:
f'(2) = -2
Ce résultat a une interprétation géométrique claire: au point d’abscisse 2, la courbe passe par (2, 1) et admet une tangente de pente -2. Si vous retenez cette logique de réécriture, d’application de la règle de la chaîne et d’évaluation en un point, vous pourrez résoudre rapidement un très grand nombre d’exercices similaires.