Calcul d’une Value at Risk: pourquoi 1,65 et 5 % ?
Cette calculatrice premium permet d’estimer une VaR paramétrique simple à partir de la valeur du portefeuille, de la volatilité, de l’horizon de temps et du niveau de confiance. Elle explique aussi la logique derrière le fameux coefficient 1,65, qui correspond au quantile unilatéral de la loi normale associé à un seuil de risque de 5 % dans la queue de distribution.
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Comprendre le calcul d’une Value at Risk et la question: pourquoi 1,65 et 5 % ?
La Value at Risk, ou VaR, est l’un des indicateurs de risque les plus utilisés en finance de marché. Son objectif est simple: quantifier, sur un horizon de temps donné et pour un niveau de confiance choisi, la perte potentielle maximale que l’on ne s’attend pas à dépasser dans des conditions de marché dites normales. Lorsqu’on rencontre l’expression “pourquoi 1,65 et 5 %”, on touche au coeur même de la logique probabiliste de la VaR paramétrique. Ces deux nombres ne sont pas arbitraires: ils sont liés à la loi normale, à la notion de queue de distribution et au choix d’un niveau de confiance de 95 %.
En pratique, si un gestionnaire dit qu’un portefeuille a une VaR journalière de 32 900 € à 95 %, cela signifie que, sur une journée, il estime que la perte ne dépassera pas 32 900 € dans 95 % des cas. Le complément, soit 5 % des cas, correspond aux scénarios plus défavorables, placés dans la queue gauche de la distribution des rendements. Le coefficient 1,65 est justement le quantile normal unilatéral qui sépare les 95 % “moins extrêmes” des 5 % “plus défavorables”.
Définition intuitive de la VaR
La VaR ne dit pas quelle sera la perte moyenne en cas de crise sévère. Elle ne dit pas non plus quelle sera la pire perte possible. Elle donne plutôt un seuil statistique. C’est ce qui en fait un indicateur à la fois utile et limité. Utile, car il permet de comparer rapidement des portefeuilles et d’établir des limites de risque. Limité, car au-delà du seuil de VaR, les pertes peuvent être beaucoup plus importantes.
Les trois éléments essentiels de la mesure
- La valeur exposée, c’est-à-dire la taille du portefeuille ou de la position.
- La volatilité, qui mesure la dispersion potentielle des rendements.
- Le niveau de confiance, qui détermine la zone de probabilité retenue.
Pourquoi 1,65 ? La logique du quantile de la loi normale
Dans la méthode paramétrique, on suppose souvent que les rendements suivent approximativement une loi normale. Cette hypothèse simplifie énormément le calcul. Une loi normale standard possède une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Pour un niveau de confiance de 95 % en approche unilatérale, on cherche le point à partir duquel il ne reste plus que 5 % de probabilité dans la queue de distribution. Ce point, appelé quantile, vaut environ 1,6449. Dans de nombreux supports pédagogiques ou calculs rapides, on l’arrondit à 1,65.
La question “pourquoi 1,65 ?” appelle donc une réponse précise: parce qu’en loi normale standard, le quantile unilatéral associé à une probabilité cumulée de 95 % vaut environ 1,6449. Comme la VaR s’intéresse au seuil de perte situé dans la queue défavorable, le coefficient 1,65 permet de convertir une volatilité en perte seuil au niveau de confiance choisi.
Pourquoi 5 % ?
Le 5 % est simplement le complément du niveau de confiance de 95 %. Si l’on affirme vouloir couvrir 95 % des cas “ordinaires”, on accepte mécaniquement que 5 % des cas soient plus défavorables que le seuil retenu. En notation probabiliste:
- Niveau de confiance = 95 %
- Probabilité de dépassement = 5 %
- Z-score unilatéral correspondant = 1,6449, souvent arrondi à 1,65
Cette relation est fondamentale. Elle explique pourquoi, dans les cours de gestion des risques, les chiffres 95 %, 5 % et 1,65 apparaissent très souvent ensemble.
La formule de calcul d’une VaR paramétrique
La version la plus connue de la VaR paramétrique sur un horizon court est:
VaR = Valeur du portefeuille × z × volatilité × racine carrée du temps
Si l’on introduit un rendement moyen attendu, une écriture légèrement plus complète devient:
VaR = Valeur du portefeuille × (z × volatilité × racine carrée du temps – rendement moyen × temps)
En pratique, sur des horizons très courts comme un jour, beaucoup d’analystes négligent le rendement moyen car son impact est généralement faible face à la volatilité. C’est pour cela que la VaR courte période est souvent pilotée presque exclusivement par le produit entre la taille du portefeuille, la volatilité et le z-score.
Exemple numérique pas à pas
- Portefeuille: 1 000 000 €
- Volatilité quotidienne: 2 %, soit 0,02
- Horizon: 1 jour
- Niveau de confiance: 95 %, donc z = 1,6449
Calcul:
VaR = 1 000 000 × 1,6449 × 0,02 × √1 = 32 898 €
On peut l’interpréter ainsi: dans un cadre normalisé, la perte journalière ne devrait pas dépasser environ 32 898 € dans 95 % des cas. Environ 5 % des jours pourraient enregistrer une perte supérieure.
Tableau des niveaux de confiance et des z-scores
| Niveau de confiance | Probabilité de dépassement | Quantile unilatéral normal | Arrondi pédagogique fréquent |
|---|---|---|---|
| 90 % | 10 % | 1,2816 | 1,28 |
| 95 % | 5 % | 1,6449 | 1,65 |
| 97,5 % | 2,5 % | 1,9600 | 1,96 |
| 99 % | 1 % | 2,3263 | 2,33 |
Ce tableau montre bien pourquoi 1,65 n’est pas un nombre magique. Il est simplement la traduction statistique du choix “95 % de confiance, 5 % dans la queue”. Si vous changez le niveau de confiance, vous changez automatiquement le z-score et donc le niveau de VaR.
Pourquoi utilise-t-on souvent une approche unilatérale ?
Dans beaucoup d’applications financières, le risque qui préoccupe l’analyste est surtout le risque de perte. On ne cherche pas une borne sur les gains extrêmes, mais une borne sur les pertes extrêmes. C’est pourquoi on utilise souvent un quantile unilatéral. Cela distingue la VaR de certains intervalles statistiques bilatéraux utilisés ailleurs en économétrie.
Cette nuance est importante. Un étudiant peut connaître la valeur 1,96 associée à 95 % dans un intervalle bilatéral et se demander pourquoi la VaR à 95 % utilise 1,65. La réponse est la suivante:
- 1,96 correspond à 95 % au centre de la distribution, avec 2,5 % dans chaque queue.
- 1,65 correspond à 95 % d’un seul côté, avec 5 % dans la queue de perte.
Comparaison entre VaR à 90 %, 95 % et 99 %
| Hypothèses | 90 % | 95 % | 99 % |
|---|---|---|---|
| Z-score | 1,2816 | 1,6449 | 2,3263 |
| VaR pour 1 000 000 € avec 2 % de volatilité sur 1 jour | 25 632 € | 32 898 € | 46 526 € |
| Probabilité de dépasser la VaR | 10 % | 5 % | 1 % |
On voit immédiatement que plus le niveau de confiance est élevé, plus la VaR augmente. C’est logique: exiger une protection contre des événements plus rares implique un seuil de perte plus conservateur.
Les limites de l’approche “1,65 et 5 %”
Même si le raisonnement est rigoureux dans le cadre de la loi normale, il faut garder à l’esprit plusieurs limites. Les rendements financiers réels présentent souvent des queues épaisses, de l’asymétrie et des ruptures de régime. Autrement dit, les événements extrêmes se produisent parfois plus souvent que ne le prédit une loi normale simple.
Principales limites
- La normalité des rendements est une approximation, pas une vérité universelle.
- La volatilité peut changer brutalement en période de stress.
- La VaR ne renseigne pas sur la taille moyenne des pertes au-delà du seuil.
- Les corrélations entre actifs peuvent augmenter pendant les crises.
C’est pour cela que la VaR est fréquemment complétée par d’autres mesures, comme l’Expected Shortfall, des stress tests ou des scénarios historiques.
VaR paramétrique, VaR historique et simulation de Monte Carlo
1. VaR paramétrique
Elle utilise une hypothèse de distribution, souvent normale, et un calcul analytique rapide. C’est la méthode dans laquelle le coefficient 1,65 apparaît le plus naturellement.
2. VaR historique
Elle repose sur les rendements observés dans le passé. On classe les pertes historiques et on lit le quantile souhaité. Ici, il n’y a pas besoin du coefficient 1,65 car on n’impose pas directement une loi normale.
3. VaR par simulation de Monte Carlo
Elle génère de nombreux scénarios aléatoires à partir d’un modèle. Cette approche est plus flexible, mais aussi plus coûteuse en calcul et plus sensible aux hypothèses de modélisation.
Pourquoi le facteur racine carrée du temps apparaît-il ?
Dans le cadre d’une volatilité supposée stable et d’une indépendance des rendements, la volatilité sur plusieurs jours est approximativement égale à la volatilité quotidienne multipliée par la racine carrée du nombre de jours. Ainsi, une VaR sur 10 jours ne se calcule pas en multipliant simplement la VaR à 1 jour par 10, mais plutôt par √10. Cette règle est très utilisée dans les modèles réglementaires et internes, tout en restant elle aussi une approximation.
Interprétation correcte de la VaR dans la gestion des risques
Une bonne lecture de la VaR suppose de toujours répondre à quatre questions: quel portefeuille, quel horizon, quel niveau de confiance et quelle méthode de calcul ? Sans ces précisions, la statistique perd beaucoup de sa valeur opérationnelle. Une VaR de 5 millions d’euros peut sembler énorme ou faible selon que le portefeuille vaut 50 millions ou 5 milliards.
Il faut également rappeler qu’une VaR n’est pas une promesse. Si un événement extrême survient, la perte réelle peut largement dépasser le chiffre calculé. La VaR est une mesure probabiliste, pas une garantie contractuelle.
Pourquoi le couple 1,65 et 5 % reste si populaire
Le couple “1,65 et 5 %” reste populaire parce qu’il constitue un excellent point d’entrée pédagogique. Il relie immédiatement trois notions fondamentales:
- Le niveau de confiance choisi par le décideur.
- La probabilité résiduelle de dépassement dans la queue de perte.
- Le coefficient statistique transformant la volatilité en seuil monétaire de risque.
Pour un analyste junior, comprendre ce triptyque revient à comprendre l’architecture de base de la VaR paramétrique. Une fois cette logique assimilée, il devient plus facile d’aborder des sujets plus avancés comme les distributions non normales, les copules, l’Expected Shortfall ou les approches réglementaires de marché.
Sources d’autorité utiles pour approfondir
Pour aller plus loin sur le risque de marché, les probabilités et les pratiques de supervision, vous pouvez consulter des ressources institutionnelles et universitaires:
- Federal Reserve pour les publications sur la stabilité financière et la gestion des risques.
- U.S. Securities and Exchange Commission pour la réglementation et les informations sur les risques de marché.
- Stanford University pour des ressources académiques en statistiques, finance quantitative et gestion du risque.
Conclusion
Si vous vous demandiez “pourquoi 1,65 et 5 % dans le calcul d’une Value at Risk ?”, la réponse est désormais claire. Le 5 % représente la probabilité de dépassement lorsque l’on choisit un niveau de confiance de 95 %. Le 1,65 est le quantile unilatéral approximatif de la loi normale associé à cette probabilité. En combinant ce coefficient avec la volatilité, la taille du portefeuille et l’horizon temporel, on obtient une estimation rapide du seuil de perte statistique.
Cette logique est élégante, utile et très répandue. Mais elle doit toujours être utilisée avec discernement, en gardant à l’esprit les hypothèses sous-jacentes et les limites de la normalité. Pour une gestion des risques sérieuse, la VaR ne remplace ni l’analyse de scénarios, ni les stress tests, ni les mesures de pertes extrêmes conditionnelles. Elle reste toutefois un langage commun essentiel entre risk managers, gérants, directions financières et régulateurs.