Calcul D Riv E De Log X Terminale

Utilisez ce calculateur premium pour trouver rapidement la dérivée d’une fonction logarithmique de type f(x) = a log(x) + c, f(x) = a ln(x) + c ou f(x) = a log base b(x) + c. L’outil affiche la formule, la valeur de la dérivée au point choisi, le domaine de définition et un graphique interactif.

Guide expert : comprendre le calcul de la dérivée de log x en terminale

Le thème calcul dérivée de log x terminale apparaît souvent dans les chapitres de fonctions, de convexité, d’étude de variations et de résolution de problèmes. Dans le programme, l’élève apprend à manipuler la fonction logarithme népérien, notée ln, à connaître son domaine de définition, à reconnaître ses propriétés et surtout à déterminer sa dérivée. Si vous cherchez une méthode claire, des exemples types et un rappel rigoureux, ce guide a été conçu pour vous.

1. Que signifie exactement “dériver log x” en terminale ?

En France, lorsque l’on parle du logarithme en terminale générale, on travaille presque toujours avec le logarithme népérien, c’est-à-dire la fonction ln(x). Dans certains contextes scientifiques ou informatiques, on rencontre aussi log10(x) ou un logarithme en base quelconque log_b(x), mais la référence scolaire principale reste ln(x).

Dériver une fonction consiste à mesurer son taux de variation instantané. Pour la fonction f(x) = ln(x), la dérivée indique comment la fonction évolue lorsqu’on modifie très légèrement x. Le résultat fondamental à connaître est :

Si x > 0, alors (ln(x))’ = 1/x.

Cette formule est simple, mais elle demande une vraie compréhension. Elle implique que :

• la dérivée n’existe que sur ]0 ; +∞[ ;
• plus x est grand, plus 1/x devient petit ;
• la fonction ln(x) reste croissante car 1/x > 0 pour tout x positif.

2. Domaine de définition : la première vérification à faire

Avant même de dériver, il faut toujours vérifier le domaine de définition. C’est une erreur fréquente chez les élèves de commencer les calculs sans se demander si la fonction existe.

Pour la fonction ln(x)

La fonction n’est définie que si x > 0. En conséquence :

• ln(1) existe et vaut 0 ;
• ln(2) existe ;
• ln(0) n’existe pas ;
• ln(-3) n’existe pas dans l’étude classique de terminale.

Cela signifie que, lorsque vous calculez une dérivée en un point, vous devez d’abord vérifier que ce point appartient bien à l’intervalle ]0 ; +∞[. Si ce n’est pas le cas, la question n’a pas de sens dans le cadre habituel du programme.

3. Formule de base à mémoriser absolument

La formule centrale du chapitre est :

f(x) = ln(x) ⟹ f'(x) = 1/x pour x > 0

À partir de là, on obtient immédiatement des dérivées plus riches grâce aux règles opératoires.

Cas d’un coefficient multiplicateur

Si f(x) = a ln(x), alors :

f'(x) = a × 1/x = a/x

Cas avec une constante ajoutée

Si f(x) = a ln(x) + c, alors :

f'(x) = a/x

La constante disparaît à la dérivation, car la dérivée d’une constante est nulle.

Cas d’un logarithme de base 10

Si l’on considère log10(x), alors :

(log10(x))’ = 1 / (x ln(10))

Cette formule explique pourquoi la dérivée du logarithme décimal ressemble à celle de ln(x), mais avec un facteur correctif constant.

Cas d’une base b quelconque

Pour log_b(x), avec b > 0 et b ≠ 1 :

(log_b(x))’ = 1 / (x ln(b))

Dans le calculateur ci-dessus, cette formule est utilisée automatiquement lorsque vous sélectionnez une base personnalisée.

Fonction	Domaine	Dérivée	Conséquence sur les variations
ln(x)	x > 0	1/x	Strictement croissante sur ]0 ; +∞[
a ln(x) + c	x > 0	a/x	Le signe dépend de a
log10(x)	x > 0	1 / (x ln(10))	Strictement croissante
log_b(x)	x > 0, b > 0, b ≠ 1	1 / (x ln(b))	Croissante si b > 1, décroissante si 0 < b < 1

4. Méthode complète pour réussir un exercice de dérivée de log x

Voici une méthode simple et robuste, exactement celle qu’un correcteur attend dans une copie de terminale.

1. Identifier la nature du logarithme : ln(x), log10(x) ou log en base b.
2. Préciser le domaine de définition : la condition x > 0 doit apparaître.
3. Appliquer la formule de dérivation adaptée.
4. Simplifier l’expression si possible.
5. Étudier le signe de la dérivée pour conclure sur les variations.
6. Évaluer la dérivée en un point si l’exercice demande un nombre précis ou l’équation d’une tangente.

Exemple 1

On considère f(x) = 3ln(x) – 5.

• Domaine : x > 0
• Dérivée : f'(x) = 3/x
• Signe : pour x > 0, on a 3/x > 0
• Conclusion : f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[

Exemple 2

On considère g(x) = -2ln(x) + 1.

• Domaine : x > 0
• Dérivée : g'(x) = -2/x
• Signe : pour x > 0, -2/x < 0
• Conclusion : g est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[

Exemple 3

On cherche la pente de la tangente à f(x) = ln(x) au point d’abscisse 2.

On calcule f'(2) = 1/2 = 0,5. La tangente a donc une pente égale à 0,5.

5. Pourquoi la dérivée de ln(x) est-elle 1/x ?

En terminale, on admet généralement ce résultat ou on le relie à l’étude de la fonction exponentielle. En effet, ln et exp sont réciproques l’une de l’autre. Comme la dérivée de exp(x) est exp(x), on obtient par la règle des fonctions réciproques la formule :

(ln(x))’ = 1/x

Cette relation est fondamentale en analyse. Elle explique aussi pourquoi la fonction ln(x) croît rapidement près de 0, puis de plus en plus lentement quand x devient grand. La dérivée 1/x diminue à mesure que x augmente.

6. Erreurs fréquentes en terminale

Les erreurs autour du calcul dérivée de log x terminale sont très classiques. Les connaître permet de gagner des points immédiatement.

• Oublier le domaine et écrire des résultats valables pour tout réel.
• Confondre ln(x) et 1/ln(x). La dérivée de ln(x) est 1/x, pas 1/ln(x).
• Conserver la constante après dérivation. Dans a ln(x) + c, le c disparaît.
• Remplacer ln(x) par log10(x) sans corriger la formule.
• Évaluer au point x = 0, ce qui est impossible car le logarithme n’y est pas défini.

7. Tableau comparatif utile pour les révisions

Le tableau suivant rassemble des valeurs numériques exactes ou arrondies très utiles en pratique. Elles permettent de relier le calcul algébrique à une interprétation concrète.

Valeur de x	ln(x)	(ln(x))’ = 1/x	Interprétation
0,5	-0,6931	2,0000	Croissance très rapide près de 0
1	0,0000	1,0000	Point de repère fondamental
2	0,6931	0,5000	La pente a déjà diminué de moitié
10	2,3026	0,1000	Croissance lente pour les grandes valeurs
100	4,6052	0,0100	Très faible variation locale

Ces données montrent une réalité importante : ln(x) continue d’augmenter, mais sa dérivée devient de plus en plus petite. C’est pourquoi les courbes logarithmiques montent toujours, tout en s’aplatissant progressivement.

8. Liens avec les notions du bac

Le calcul de la dérivée de ln(x) n’est jamais isolé. Il intervient dans plusieurs types d’exercices :

• étude de variations d’une fonction contenant ln(x) ;
• équation de tangente à une courbe ;
• optimisation en économie, physique ou probabilités ;
• convexité, avec une dérivation supplémentaire ;
• résolution d’équations faisant intervenir exponentielle et logarithme.

Par exemple, si f(x) = x – ln(x), alors :

f'(x) = 1 – 1/x = (x – 1)/x

Comme x > 0, le signe de la dérivée dépend essentiellement de x – 1. On peut donc établir un tableau de variations et trouver que la fonction atteint un minimum en x = 1. Ce type d’argument est très fréquent dans les sujets de spécialité mathématiques.

9. Mini stratégie pour aller plus vite le jour du contrôle

Pour sécuriser vos points en temps limité, retenez cette stratégie mentale :

1. Je vois ln(x) ; je pense immédiatement x > 0.
2. Je dérive en écrivant 1/x.
3. S’il y a un coefficient, je le garde devant.
4. S’il y a une constante, je la supprime.
5. J’étudie le signe de la dérivée sur l’intervalle de définition.

Cette routine simple évite la plupart des erreurs de début de copie. Elle permet aussi de mieux justifier la conclusion, ce qui est essentiel dans une rédaction de niveau terminale.

10. Repères institutionnels et statistiques utiles

Pour situer l’importance de ces notions, il est utile de rappeler que l’analyse et la dérivation occupent une place structurante dans les mathématiques du lycée. Les repères ci-dessous proviennent d’institutions officielles ou de données publiques largement diffusées.

Indicateur éducatif	Valeur	Source publique	Intérêt pour l’élève
Taux de réussite au baccalauréat général 2024	Supérieur à 95 % au niveau national	Ministère de l’Éducation nationale	Montre l’importance de maîtriser les automatismes du programme
Base usuelle du logarithme en terminale	ln(x) en priorité	Programme officiel de spécialité mathématiques	Indique quelle formule doit être maîtrisée en premier
Condition de définition de ln(x)	x > 0	Référence académique universelle	Évite des pertes de points sur les exercices

Le message essentiel est simple : sur un chapitre comme celui-ci, la réussite repose moins sur des calculs compliqués que sur la maîtrise parfaite de quelques résultats fondamentaux. La dérivée de ln(x) en fait partie.

11. Ressources d’autorité pour approfondir

• education.gouv.fr – site officiel du Ministère de l’Éducation nationale, utile pour consulter les programmes et attendus de terminale.
• ocw.mit.edu – cours universitaires ouverts du MIT, utiles pour voir comment les notions de dérivation et de logarithme s’étendent à l’enseignement supérieur.
• math.harvard.edu – ressource universitaire de référence pour explorer des prolongements en analyse.

12. Conclusion : ce qu’il faut retenir absolument

Pour réussir le calcul dérivée de log x terminale, il faut retenir quatre idées centrales. Premièrement, la fonction logarithme étudiée au lycée est principalement ln(x). Deuxièmement, son domaine de définition est ]0 ; +∞[. Troisièmement, sa dérivée est 1/x. Quatrièmement, l’étude du signe de cette dérivée permet de conclure immédiatement sur les variations de la fonction.

Avec ces bases, vous pouvez traiter la majorité des exercices classiques : dériver a ln(x) + c, calculer une pente de tangente, dresser un tableau de variations ou résoudre un problème d’optimisation. Le calculateur interactif situé en haut de page vous permet de vérifier vos résultats, de visualiser la courbe et de comprendre concrètement comment évolue la dérivée quand x change.