Calcul 4eme les 9 cercles
Calculez instantanément l’aire totale de 9 cercles identiques, l’aire du carré qui les contient, la surface vide restante et le pourcentage de remplissage. Outil idéal pour les exercices de 4e en géométrie.
Calculateur interactif
Hypothèse utilisée : les 9 cercles sont identiques et rangés en grille 3 x 3, tangents entre eux, à l’intérieur d’un carré. Le côté du carré vaut donc 6 fois le rayon d’un cercle.
Schéma des 9 cercles
Cette visualisation aide à comprendre pourquoi le carré contenant a un côté égal à 6 fois le rayon : il y a 3 diamètres sur chaque ligne ou colonne.
diamètre = 2r
côté du carré = 3 diamètres = 3 × 2r = 6r
aire du carré = (6r)² = 36r²
aire totale des 9 cercles = 9πr²
taux de remplissage = (9πr² ÷ 36r²) × 100 = (π ÷ 4) × 100 ≈ 78,54 %
Guide expert : comprendre le calcul des 9 cercles en 4e
Le thème du calcul 4eme les 9 cercles est un classique de la géométrie scolaire, car il combine plusieurs notions fondamentales du programme : le rayon, le diamètre, l’aire du disque, l’aire du carré, les expressions littérales et la lecture d’une figure. Dans la version la plus fréquente de l’exercice, on place 9 cercles identiques sous la forme d’une grille de 3 rangées et 3 colonnes, le tout à l’intérieur d’un carré. Les cercles se touchent entre eux, et les cercles de bord touchent également les côtés du carré. À partir de là, l’élève doit souvent répondre à une ou plusieurs questions : quelle est l’aire totale occupée par les cercles, quelle est l’aire du carré, quelle est l’aire non couverte, et parfois quel est le pourcentage de remplissage.
Ce type d’exercice est très formateur parce qu’il oblige à faire le lien entre la géométrie visuelle et les formules algébriques. Il ne suffit pas de connaître la formule de l’aire d’un disque. Il faut aussi savoir repérer que, sur un côté du carré, on trouve exactement trois diamètres. Cette observation est la clé de presque tout le raisonnement. Une fois cette étape comprise, le reste devient beaucoup plus simple.
1. Identifier correctement les données de la figure
La première difficulté pour beaucoup d’élèves de 4e est de distinguer clairement rayon et diamètre. Rappelons-les :
- Rayon : segment reliant le centre du cercle à un point du cercle.
- Diamètre : segment reliant deux points du cercle en passant par le centre.
- Relation fondamentale : diamètre = 2 × rayon.
Dans la configuration des 9 cercles, si le rayon d’un cercle est noté r, alors le diamètre vaut 2r. Comme il y a 3 cercles alignés sur la largeur du carré, la largeur totale est égale à 3 diamètres. On obtient donc :
côté du carré = 3 × 2r = 6r
C’est ce résultat qu’il faut absolument maîtriser, car il permet ensuite de calculer l’aire du carré. Beaucoup d’erreurs viennent d’un élève qui écrit par exemple 3r au lieu de 6r, oubliant qu’un cercle occupe un diamètre et non un rayon sur la largeur.
2. Calculer l’aire totale des 9 cercles
L’aire d’un disque est donnée par la formule :
Aire d’un cercle = πr²
Comme les 9 cercles sont identiques, l’aire totale est :
Aire des 9 cercles = 9πr²
Si l’exercice demande une valeur approchée, on remplace π par 3,14 ou 3,1416 selon l’énoncé. Par exemple, si r = 3 cm, alors :
- Aire d’un cercle = 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm²
- Aire des 9 cercles = 9 × 28,26 = 254,34 cm²
On peut aussi écrire directement :
9πr² = 9 × 3,14 × 9 = 254,34 cm²
3. Calculer l’aire du carré contenant
Une fois le côté connu, on utilise la formule de l’aire d’un carré :
Aire du carré = côté²
Or le côté vaut 6r, donc :
Aire du carré = (6r)² = 36r²
Avec r = 3 cm, le côté vaut 18 cm et l’aire du carré vaut :
18² = 324 cm²
Cette étape est importante car elle montre qu’on peut travailler de manière littérale sans forcément remplacer tout de suite par une valeur numérique. C’est une excellente habitude en 4e : simplifier l’expression générale avant de calculer.
4. Trouver la surface vide entre les cercles et le carré
L’une des questions les plus fréquentes dans ce problème est : combien d’aire reste-t-il dans le carré en dehors des cercles ? Il suffit de faire une différence :
Surface vide = aire du carré – aire totale des 9 cercles
Donc :
Surface vide = 36r² – 9πr² = 9r²(4 – π)
Pour r = 3 cm :
- Aire du carré = 324 cm²
- Aire des 9 cercles = 254,34 cm²
- Surface vide = 324 – 254,34 = 69,66 cm²
On voit alors que même lorsque les 9 cercles semblent bien remplir le carré, il reste une zone non négligeable dans les coins et autour des contacts.
5. Comprendre le pourcentage de remplissage
Un aspect très intéressant de cet exercice est que le pourcentage de remplissage ne dépend pas du rayon. En effet :
Taux de remplissage = (aire des 9 cercles ÷ aire du carré) × 100
En remplaçant par les expressions générales :
(9πr² ÷ 36r²) × 100 = (π ÷ 4) × 100
Le terme r² disparaît. Donc, quelle que soit la taille des cercles, tant que la disposition reste la même, le pourcentage est toujours approximativement :
(3,14 ÷ 4) × 100 = 78,5 %
La surface vide représente donc environ 21,5 % du carré. C’est une observation très utile pour développer l’intuition géométrique : agrandir ou réduire toute la figure ne change pas la proportion occupée.
6. Tableau comparatif de cas concrets
Le tableau suivant montre des résultats réels calculés avec π ≈ 3,14 pour plusieurs rayons. Il est très utile pour voir comment les aires évoluent avec la taille du rayon.
| Rayon r | Côté du carré 6r | Aire des 9 cercles | Aire du carré | Surface vide | Taux de remplissage |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 cm | 6 cm | 28,26 cm² | 36 cm² | 7,74 cm² | 78,50 % |
| 2 cm | 12 cm | 113,04 cm² | 144 cm² | 30,96 cm² | 78,50 % |
| 3 cm | 18 cm | 254,34 cm² | 324 cm² | 69,66 cm² | 78,50 % |
| 5 cm | 30 cm | 706,50 cm² | 900 cm² | 193,50 cm² | 78,50 % |
On constate deux choses essentielles :
- Les aires augmentent très vite, car elles dépendent de r² et non de r.
- Le pourcentage occupé reste constant, ce qui confirme le raisonnement théorique.
7. Les erreurs les plus fréquentes en 4e
Voici les erreurs typiques que l’on rencontre dans les devoirs et les contrôles :
- Confondre rayon et diamètre : écrire 3r au lieu de 6r pour le côté du carré.
- Oublier le carré dans r² : écrire πr au lieu de πr².
- Calculer l’aire d’un seul cercle et oublier de multiplier par 9.
- Faire 36r – 9πr² au lieu de 36r² – 9πr².
- Arrondir trop tôt, ce qui peut créer un écart sensible sur le résultat final.
Pour éviter cela, il est conseillé d’adopter une méthode systématique :
- Repérer le rayon.
- En déduire le diamètre.
- Trouver le côté du carré.
- Calculer séparément l’aire des cercles et l’aire du carré.
- Comparer les deux résultats selon la question.
8. Tableau de comparaison des formules à retenir
| Grandeur | Formule générale | Avec r = 4 cm | Commentaire |
|---|---|---|---|
| Diamètre d’un cercle | 2r | 8 cm | Base de toute la construction |
| Côté du carré | 6r | 24 cm | Trois diamètres alignés |
| Aire d’un cercle | πr² | 50,24 cm² | Avec π ≈ 3,14 |
| Aire des 9 cercles | 9πr² | 452,16 cm² | Multiplier l’aire d’un cercle par 9 |
| Aire du carré | 36r² | 576 cm² | Car (6r)² = 36r² |
| Surface vide | 36r² – 9πr² | 123,84 cm² | Différence entre contenant et contenu |
9. Pourquoi cet exercice est important dans l’apprentissage
Le problème des 9 cercles est plus riche qu’il n’y paraît. Il aide l’élève à passer d’une approche purement mécanique des formules à une compréhension plus structurée des figures. En particulier, il entraîne à :
- lire un schéma sans données superflues ;
- traduire une disposition géométrique en expression littérale ;
- manipuler des puissances simples comme r² ;
- mettre en relation plusieurs aires dans une même figure ;
- justifier une réponse avec un raisonnement clair.
C’est précisément ce qui est attendu au collège : ne pas seulement “faire le calcul”, mais aussi savoir expliquer d’où viennent les nombres.
10. Conseils de rédaction pour un devoir ou un contrôle
Une copie réussie ne se contente pas de donner le bon résultat. Elle montre chaque étape. Voici un modèle de rédaction simple :
- “Les 3 cercles de la largeur représentent 3 diamètres, donc le côté du carré vaut 6r.”
- “L’aire totale des 9 cercles est 9πr².”
- “L’aire du carré est (6r)² = 36r².”
- “La surface non couverte est 36r² – 9πr².”
- “On remplace ensuite r par la valeur donnée dans l’énoncé.”
Cette rédaction est claire, rigoureuse et suffisamment détaillée pour un niveau 4e.
11. Ressources officielles et fiables pour aller plus loin
Pour approfondir les notions de géométrie, d’aires et d’attendus scolaires au collège, vous pouvez consulter des sources institutionnelles reconnues :
- eduscol.education.fr : ressources officielles de l’Éducation nationale française pour les programmes et attendus.
- education.gouv.fr : site officiel du ministère de l’Éducation nationale.
- nces.ed.gov : National Center for Education Statistics, utile pour les repères éducatifs et les données sur l’apprentissage des mathématiques.
12. En résumé
Le calcul 4eme les 9 cercles repose sur une idée centrale très simple : dans un carré contenant 9 cercles identiques disposés en 3 x 3, le côté du carré mesure 6 fois le rayon. À partir de là, on obtient immédiatement les deux grandeurs essentielles :
- Aire des 9 cercles = 9πr²
- Aire du carré = 36r²
Ensuite, on peut calculer la surface vide, le taux de remplissage et comparer différentes tailles. Si vous retenez cette structure logique, vous serez capable de résoudre non seulement cet exercice, mais aussi de nombreuses variantes plus avancées en géométrie de collège.