Avec la calculatrice, déterminer un encadrement de α d’amplitude 10-2
Cette calculatrice premium vous aide à trouver un intervalle de longueur 0,01 contenant la solution α d’une équation du type f(x) = 0. Elle applique automatiquement une méthode de dichotomie, affiche les étapes utiles et trace la courbe pour visualiser l’encadrement obtenu.
Résultats
Renseignez les valeurs puis cliquez sur « Calculer l’encadrement ».
Comprendre comment déterminer un encadrement de α d’amplitude 10-2 avec la calculatrice
En mathématiques au lycée, on rencontre fréquemment une consigne du type : « Avec la calculatrice, déterminer un encadrement de α d’amplitude 10-2 ». Cette phrase signifie qu’il faut trouver un intervalle [a ; b] qui contient la valeur cherchée α, tout en ayant une largeur très précise : b – a = 0,01, ou au moins b – a ≤ 0,01 selon la formulation du professeur ou de l’énoncé. L’idée n’est donc pas uniquement d’obtenir une approximation décimale, mais de justifier rigoureusement que la solution se trouve entre deux nombres espacés de 0,01.
Dans la plupart des exercices, α désigne une solution unique d’une équation comme f(x) = 0. On sait souvent, grâce à l’étude préalable de la fonction, que cette solution existe et qu’elle est unique sur un intervalle donné. Le rôle de la calculatrice est alors d’aider à repérer les changements de signe de la fonction et à affiner l’intervalle pas à pas jusqu’à atteindre l’amplitude demandée.
Définition simple de l’encadrement
Encadrer α, c’est trouver deux nombres a et b tels que a ≤ α ≤ b. Si on demande une amplitude 10-2, alors il faut de plus que :
- b – a = 10^-2 = 0,01, ou
- b – a ≤ 0,01 si l’énoncé accepte une amplitude au plus égale à 10-2.
Par exemple, si α vaut environ 1,4142, alors l’intervalle [1,41 ; 1,42] constitue un encadrement d’amplitude 0,01. En revanche, [1,4 ; 1,5] est trop large, car son amplitude est égale à 0,1.
Pourquoi la calculatrice est utile
La calculatrice graphique ou scientifique permet de tester rapidement des valeurs et de déterminer le signe de la fonction. C’est particulièrement utile pour des fonctions comme cos(x) – x, e^x – 3 ou ln(x + 1) – 1, dont les solutions ne sont pas toujours accessibles par un calcul exact simple. On exploite alors une idée essentielle : si une fonction continue change de signe entre deux nombres, alors elle s’annule entre ces deux nombres.
Méthode pratique pas à pas
- Repérer un premier intervalle où la fonction change de signe.
- Choisir deux décimaux espacés de 0,01 près de la solution supposée.
- Calculer f(a) et f(b) avec la calculatrice.
- Vérifier que les signes sont opposés.
- Conclure que α ∈ [a ; b] avec une amplitude de 0,01.
Cette méthode est exactement celle que l’outil ci-dessus automatise. Il utilise une stratégie de dichotomie : à chaque étape, il coupe l’intervalle en deux et conserve la moitié qui contient encore la racine. Cette procédure est très robuste et très utilisée en calcul numérique.
Exemple 1 : résoudre x² – 2 = 0
La solution positive de l’équation x² – 2 = 0 est √2, soit environ 1,4142. Si l’on veut un encadrement d’amplitude 10-2, on peut tester :
- f(1,41) = 1,41² – 2 = -0,0119
- f(1,42) = 1,42² – 2 = 0,0164
Comme les signes sont opposés, on conclut : α ∈ [1,41 ; 1,42]. L’amplitude est bien 0,01.
Exemple 2 : résoudre cos(x) – x = 0
Cette équation célèbre admet une solution proche de 0,739. Testons :
- f(0,73) = cos(0,73) – 0,73 ≈ 0,0159
- f(0,74) = cos(0,74) – 0,74 ≈ -0,0016
Il y a encore changement de signe. Donc on peut écrire : α ∈ [0,73 ; 0,74].
Comment rédiger correctement la réponse
Beaucoup d’élèves trouvent numériquement la bonne valeur, mais perdent des points sur la rédaction. Une réponse attendue doit en général contenir trois éléments :
- Les valeurs testées.
- Le signe de la fonction pour ces deux valeurs.
- La conclusion avec l’intervalle et l’amplitude.
Exemple de rédaction correcte :
f(1,41) < 0 et f(1,42) > 0. La fonction étant continue, l’équation f(x) = 0 admet une solution α dans l’intervalle [1,41 ; 1,42]. Cet encadrement est d’amplitude 1,42 – 1,41 = 0,01 = 10^-2.
Tableau comparatif : nombre d’itérations nécessaires selon la largeur initiale
Le tableau suivant illustre le comportement réel de la méthode de dichotomie pour atteindre une amplitude de 0,01. Les valeurs ci-dessous proviennent de la relation numérique classique : après n étapes, la largeur vaut environ (b-a)/2^n.
| Largeur initiale de l’intervalle | Amplitude cible | Itérations minimales de dichotomie | Exemple de situation |
|---|---|---|---|
| 1,00 | 0,01 | 7 | Recherche grossière sur un intervalle de taille 1 |
| 0,50 | 0,01 | 6 | Intervalle déjà bien localisé |
| 0,20 | 0,01 | 5 | Cas fréquent après lecture graphique |
| 0,10 | 0,01 | 4 | On connaît déjà le dixième correspondant |
| 0,05 | 0,01 | 3 | Affinage rapide proche de la solution |
Ce tableau montre une idée importante : il n’est pas nécessaire d’effectuer énormément d’essais si le premier encadrement est déjà raisonnable. C’est justement pourquoi une bonne lecture graphique au départ fait gagner beaucoup de temps.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre approximation et encadrement : écrire α ≈ 1,41 ne suffit pas si l’énoncé demande un intervalle.
- Oublier l’amplitude : l’intervalle doit être de largeur 0,01, pas 0,1.
- Ne pas justifier le changement de signe : il faut vérifier la valeur de la fonction aux bornes.
- Utiliser des bornes trop arrondies : l’encadrement doit réellement contenir α.
- Choisir un intervalle où la fonction ne change pas de signe : dans ce cas, la preuve n’est pas valable.
Tableau de comparaison : interprétation correcte et incorrecte d’une consigne
| Consigne | Réponse insuffisante | Réponse correcte | Pourquoi |
|---|---|---|---|
| Encadrement de α d’amplitude 10^-2 | α ≈ 1,41 | 1,41 ≤ α ≤ 1,42 | Une approximation seule ne garantit pas l’intervalle. |
| Justifier avec la calculatrice | Je lis 0,74 sur l’écran | f(0,73) > 0 et f(0,74) < 0, donc α ∈ [0,73 ; 0,74] | Le signe de la fonction permet une justification mathématique. |
| Amplitude 0,01 | [1,4 ; 1,5] | [1,41 ; 1,42] | Le premier intervalle a une largeur 0,1, dix fois trop grande. |
Pourquoi la méthode de dichotomie est si fiable
La dichotomie est l’une des méthodes numériques les plus sûres pour encadrer une solution. Elle ne demande pas de formule compliquée, uniquement trois ingrédients :
- une fonction continue ;
- un intervalle initial [a ; b] ;
- un changement de signe entre les bornes.
À partir de là, chaque découpage en deux conserve la garantie que la solution reste dans le nouvel intervalle. C’est une approche plus lente que certaines méthodes avancées, mais elle est particulièrement adaptée aux exercices scolaires parce qu’elle est facile à expliquer et à vérifier.
Liens avec les outils officiels et les ressources académiques
Si vous souhaitez approfondir la logique mathématique derrière l’encadrement, la continuité et les méthodes numériques, consultez ces ressources d’autorité :
Conseils pour réussir rapidement à l’examen
1. Commencer par une lecture graphique
Avant même de tester des valeurs, regardez où la courbe coupe l’axe des abscisses. Cela permet d’estimer la zone où se trouve α et d’éviter des calculs inutiles.
2. Travailler au centième demandé
Si l’énoncé demande une amplitude 10-2, il faut penser « centième ». Les bornes finales doivent donc souvent être deux nombres consécutifs à deux décimales, comme 2,17 et 2,18.
3. Toujours vérifier les signes
Une calculatrice donne facilement la valeur numérique de la fonction. Le point important n’est pas d’obtenir une grande précision, mais de savoir si le résultat est positif ou négatif.
4. Rédiger avec une phrase de conclusion
Terminez toujours par une phrase du type : Donc α ∈ [a ; b], encadrement d’amplitude 0,01. C’est cette conclusion explicite qui valide la démarche.
À retenir
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10-2 avec la calculatrice consiste à trouver deux nombres séparés de 0,01 entre lesquels la solution se situe. Pour y parvenir, on évalue la fonction à deux bornes proches, on vérifie un changement de signe, puis on conclut rigoureusement. Avec de l’entraînement, cette méthode devient très rapide et très fiable. La calculatrice ci-dessus vous permet justement de reproduire ce raisonnement automatiquement, tout en conservant l’esprit mathématique attendu dans une copie.