APMEP 2018: calculer le volume de la pyramide BDEG
Ce calculateur interactif vous aide à retrouver immédiatement le volume du tétraèdre BDEG inscrit dans un cube. Dans la configuration classique du cube ABCDEFGH, le volume de la pyramide BDEG vaut exactement un tiers du volume du cube.
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Entrez une donnée, puis cliquez sur Calculer le volume pour obtenir le volume de la pyramide BDEG, le volume du cube et la part occupée par le tétraèdre.
Comment calculer le volume de la pyramide BDEG dans l’exercice APMEP 2018
La requête « apmep 2018 calculer le volume de la pyramide bdeg » renvoie à un type d’exercice très apprécié en géométrie de l’espace: on part d’un cube, on identifie quatre sommets particuliers, puis on demande le volume de la pyramide, plus précisément du tétraèdre, formé par les points B, D, E et G. Cet exercice est excellent, car il oblige à relier plusieurs compétences en une seule démarche: visualisation 3D, lecture du codage classique d’un cube, choix d’une base, détermination d’une hauteur, puis utilisation de la formule du volume d’une pyramide.
Dans la notation habituelle, le cube est nommé ABCDEFGH. Les quatre points B, D, E et G ne sont pas choisis au hasard. Ils forment un solide intérieur au cube dont le volume peut se calculer de plusieurs façons. La méthode la plus directe consiste à choisir comme base le triangle BDE et à considérer G comme sommet. On peut aussi utiliser un repère et calculer un déterminant, ou encore remarquer un partage du cube en tétraèdres de même nature. Dans tous les cas, le résultat est le même: le volume de la pyramide BDEG est égal au tiers du volume du cube.
La formule fondamentale à connaître
Le volume d’une pyramide est donné par la formule suivante:
Volume = (aire de la base × hauteur) / 3
Dans le cas de BDEG, il faut donc identifier:
- une base, par exemple le triangle BDE,
- une hauteur issue du sommet G vers le plan contenant cette base,
- l’aire du triangle de base,
- la distance perpendiculaire entre G et ce plan.
Si l’arête du cube vaut a, alors le volume du cube vaut a³. Or on démontre que la pyramide BDEG occupe exactement 1/3 de ce volume. On obtient donc immédiatement:
V(BDEG) = a³ / 3
Cette égalité est particulièrement utile dans les sujets APMEP ou dans les exercices de préparation au brevet et au lycée, car elle permet de gagner du temps tout en conservant une justification rigoureuse.
Démonstration simple avec des coordonnées
La démonstration par coordonnées est souvent la plus propre si l’on veut rédiger une correction complète. Plaçons le cube dans un repère orthonormé:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- D(0, a, 0)
- E(0, 0, a)
- G(a, a, a)
Le volume du tétraèdre BDEG peut être obtenu par la valeur absolue du déterminant de trois vecteurs issus d’un même sommet, divisée par 6. En prenant B comme point de départ, on considère:
- BD = D – B = (-a, a, 0)
- BE = E – B = (-a, 0, a)
- BG = G – B = (0, a, a)
Le déterminant associé vaut 2a³. Le volume du tétraèdre est donc:
V = |det(BD, BE, BG)| / 6 = 2a³ / 6 = a³ / 3
Cette méthode est particulièrement convaincante, car elle ne dépend d’aucun dessin approximatif. Elle transforme un problème de géométrie spatiale en calcul algébrique exact.
Méthode géométrique avec une base triangulaire
Pour les élèves qui préfèrent une lecture purement géométrique, on peut choisir le triangle BDE comme base. Dans un cube d’arête a, les segments BD, BE et DE sont des diagonales de faces. Chacune mesure a√2. Le triangle BDE est donc équilatéral de côté a√2.
L’aire d’un triangle équilatéral de côté s est:
A = (√3 / 4) × s²
En remplaçant s par a√2, on obtient:
A(BDE) = (√3 / 4) × 2a² = (√3 / 2) a²
Il reste alors à déterminer la hauteur issue de G sur le plan (BDE). Cette hauteur vaut:
h = a√3 / √2 = a√6 / 2
En appliquant la formule du volume d’une pyramide:
V = (1/3) × (√3 / 2 a²) × (a√6 / 2)
Après simplification, on retrouve bien:
V = a³ / 3
Cette seconde méthode est plus longue, mais elle est très pédagogique. Elle montre comment relier géométrie plane et géométrie de l’espace.
Exemple complet typique de niveau APMEP
Supposons que l’arête du cube soit égale à 6 cm. On cherche le volume de la pyramide BDEG.
- Calcul du volume du cube: 6³ = 216 cm³.
- La pyramide BDEG représente le tiers du cube.
- Donc V(BDEG) = 216 / 3 = 72 cm³.
La rédaction courte peut être:
Dans un cube d’arête 6 cm, le volume du cube est 216 cm³. Or le volume de la pyramide BDEG vaut un tiers du volume du cube. Donc V(BDEG) = 216/3 = 72 cm³.
Cette réponse est correcte, rapide et parfaitement adaptée à une évaluation si la propriété a été démontrée ou admise auparavant.
Les erreurs les plus fréquentes
Quand on cherche « apmep 2018 calculer le volume de la pyramide bdeg », on rencontre souvent des corrigés partiels ou des réponses sans justification. Voici les pièges à éviter:
- Confondre pyramide et prisme: le volume n’est pas aire de base × hauteur, mais bien un tiers de cette quantité.
- Prendre une mauvaise base: BDE est une base triangulaire, pas carrée.
- Utiliser la diagonale du cube à la place de la hauteur: la hauteur doit être perpendiculaire au plan de base.
- Oublier l’unité cubique: si l’arête est en cm, le volume est en cm³.
- Croire que toute pyramide inscrite dans un cube vaut 1/3 du cube: cette propriété concerne ici la configuration particulière BDEG.
Tableau comparatif des volumes pour différentes arêtes
Le tableau suivant donne des valeurs exactes et décimales utiles pour vérifier rapidement ses calculs. Les données proviennent directement de la formule V(BDEG) = a³ / 3.
| Arête du cube a | Volume du cube a³ | Volume de la pyramide BDEG | Part de BDEG dans le cube |
|---|---|---|---|
| 3 cm | 27 cm³ | 9 cm³ | 33,33 % |
| 4 cm | 64 cm³ | 21,33 cm³ | 33,33 % |
| 5 cm | 125 cm³ | 41,67 cm³ | 33,33 % |
| 6 cm | 216 cm³ | 72 cm³ | 33,33 % |
| 8 cm | 512 cm³ | 170,67 cm³ | 33,33 % |
| 10 cm | 1000 cm³ | 333,33 cm³ | 33,33 % |
Comparaison entre plusieurs stratégies de résolution
Dans un contexte scolaire, plusieurs méthodes sont jugées correctes. Le choix dépend du niveau attendu, du temps disponible et du degré de justification souhaité.
| Méthode | Idée principale | Niveau de technicité | Avantage concret |
|---|---|---|---|
| Proportion du cube | Reconnaître que BDEG vaut 1/3 du cube | Faible | La plus rapide en contrôle |
| Base × hauteur / 3 | Calculer l’aire de BDE puis la hauteur depuis G | Moyen | Très formatrice en géométrie |
| Coordonnées et déterminant | Placer le cube dans un repère | Élevé | Preuve compacte et exacte |
| Découpage spatial | Comparer avec d’autres tétraèdres du cube | Moyen | Développe la vision 3D |
Pourquoi le résultat est-il intéressant d’un point de vue pédagogique ?
L’exercice est remarquable parce qu’il fait apparaître un résultat simple à partir d’une figure qui semble d’abord compliquée. Beaucoup d’élèves regardent les segments BDEG et imaginent un calcul lourd. En réalité, dès qu’on perçoit la structure du cube, le problème devient élégant. C’est exactement le type de situation que les sujets APMEP valorisent: il ne suffit pas d’appliquer mécaniquement une formule, il faut comprendre l’organisation de l’espace.
Cette question permet aussi de travailler trois niveaux de maîtrise:
- Niveau intuitif: observer qu’on a un solide intérieur au cube.
- Niveau calculatoire: utiliser la formule du volume d’une pyramide.
- Niveau démonstratif: prouver que le volume vaut a³/3.
Autrement dit, l’exercice ne se limite pas à donner un nombre. Il apprend à raisonner, à choisir une méthode et à justifier un résultat.
Rédaction modèle pour une copie
Voici une rédaction claire que vous pouvez adapter:
On considère un cube d’arête a. Le volume du cube est donc a³. Les points B, D, E et G forment un tétraèdre BDEG. En utilisant soit une démonstration par coordonnées, soit la formule du volume d’une pyramide appliquée à la base triangulaire BDE, on montre que le volume de BDEG est égal au tiers du volume du cube. Ainsi, V(BDEG) = a³ / 3.
Si une valeur numérique est donnée, il suffit ensuite de remplacer a par cette valeur.
Comment utiliser ce calculateur intelligemment
Le calculateur situé plus haut sert à vérifier un résultat, mais il peut aussi devenir un outil d’apprentissage. Vous pouvez:
- tester différentes arêtes pour observer la croissance du volume,
- entrer directement le volume d’un cube et retrouver le volume de BDEG,
- visualiser le rapport constant entre cube, pyramide et volume restant grâce au graphique,
- contrôler rapidement une correction ou un devoir maison.
Cette visualisation est très utile: on voit immédiatement que le tétraèdre représente toujours un tiers du cube, quel que soit le changement d’échelle. Cela renforce l’idée d’invariance de la proportion géométrique.
Ressources institutionnelles pour approfondir la géométrie, les volumes et les mesures
Pour compléter vos révisions avec des sources reconnues, vous pouvez consulter:
- NIST.gov, référence américaine en matière de mesures, d’unités et de quantification scientifique.
- NASA STEM, qui propose des ressources éducatives sur la géométrie spatiale, les formes et la modélisation.
- MIT OpenCourseWare, portail universitaire donnant accès à des contenus de mathématiques et de raisonnement spatial.
Conclusion
Retenir la bonne idée suffit souvent pour résoudre rapidement la question « apmep 2018 calculer le volume de la pyramide bdeg ». Dans le cube ABCDEFGH d’arête a, le volume recherché est a³/3. Si l’on connaît déjà le volume du cube, il suffit de le diviser par 3. Si l’on connaît l’arête, on calcule d’abord a³, puis on prend le tiers. Cette propriété simple, élégante et robuste constitue un excellent exercice de synthèse entre géométrie plane, géométrie de l’espace et raisonnement démonstratif.
En pratique, pour réussir ce type de question, gardez toujours en tête trois réflexes: identifier la figure de base, vérifier la hauteur correcte, puis contrôler si une relation plus globale avec le cube n’offre pas un raccourci intelligent. C’est précisément cette capacité à reconnaître la bonne structure qui fait la différence dans un problème APMEP.