Activit 1 Surr Servation Corrig Calculer R X 0 024X2 1 6X 40

Évaluez instantanément la fonction, observez sa courbe, repérez son sommet et utilisez ce corrigé interactif pour comprendre une modélisation typique de la surréservation.

Calculateur de la fonction r(x)

Résultats

Astuce : le coefficient de x² est positif, donc la parabole s’ouvre vers le haut. Le sommet correspond ici à une valeur minimale de r(x).

Guide expert : activité 1 surréservation corrigé, comment calculer r(x) = 0.024x² – 1.6x + 40

Dans une activité de mathématiques appliquées à la surréservation, on rencontre souvent une fonction qui modélise un coût, un risque, une recette corrigée ou une pénalité attendue en fonction d’un nombre de places vendues en plus, d’un nombre de clients supplémentaires ou d’un niveau de surbooking. La fonction r(x) = 0.024x² – 1.6x + 40 est un excellent exemple pédagogique, parce qu’elle combine un terme quadratique, un terme linéaire et une constante. Cela en fait un modèle simple à calculer à la main, mais aussi riche à interpréter.

Le mot surréservation désigne la pratique consistant à accepter plus de réservations que le nombre exact de places disponibles, en supposant qu’une partie des clients ne se présentera pas. Dans l’aérien, l’hôtellerie ou le transport, cette pratique est courante. Elle permet d’améliorer le taux de remplissage, mais elle augmente aussi le risque de refus d’embarquement ou de re-protection. C’est justement pour mesurer cet équilibre entre gain et risque qu’un modèle mathématique est utile.

r(x) = 0.024x² – 1.6x + 40

1. Comment calculer correctement r(x)

Le calcul se fait toujours dans le même ordre. Vous remplacez d’abord x par la valeur donnée, puis vous effectuez le carré, la multiplication, l’addition algébrique et enfin la somme totale. Prenons plusieurs exemples classiques de corrigé :

1. Pour x = 10 :
   r(10) = 0.024 × 10² – 1.6 × 10 + 40
   r(10) = 0.024 × 100 – 16 + 40
   r(10) = 2.4 – 16 + 40 = 26.4
2. Pour x = 20 :
   r(20) = 0.024 × 400 – 32 + 40
   r(20) = 9.6 – 32 + 40 = 17.6
3. Pour x = 30 :
   r(30) = 0.024 × 900 – 48 + 40
   r(30) = 21.6 – 48 + 40 = 13.6

On remarque déjà que la valeur de la fonction diminue d’abord, puis qu’elle finira par remonter. C’est le comportement typique d’une parabole ouverte vers le haut.

2. Interpréter les coefficients de la fonction

Pour bien corriger une activité sur la surréservation, il ne suffit pas de faire le calcul numérique. Il faut aussi expliquer le sens des coefficients :

• 0.024 est le coefficient du terme quadratique. Comme il est positif, la fonction possède un minimum.
• -1.6 est le coefficient du terme linéaire. Il tire la courbe vers le bas sur les premières valeurs de x.
• 40 est la valeur initiale. C’est la valeur de r(0), donc la fonction vaut 40 si x = 0.

Dans un contexte de surréservation, on peut interpréter cela ainsi : au départ, le système supporte un certain coût ou une certaine base de référence égale à 40. Lorsque l’on ajuste le niveau de surbooking, la valeur baisse au début grâce à un meilleur remplissage, puis remonte ensuite à cause du risque croissant de perturbation. C’est une interprétation classique d’un arbitrage entre efficacité et pénalité.

3. Trouver le sommet de la parabole

Le sommet d’une fonction du type ax² + bx + c se calcule avec la formule :

x_s = -b / 2a

Ici, a = 0.024 et b = -1.6. Donc :

x_s = -(-1.6) / (2 × 0.024) = 1.6 / 0.048 = 33.333…

Pour calculer l’ordonnée du sommet, on remplace cette valeur dans la fonction :

r(33.333…) ≈ 13.333…

Conclusion mathématique importante : la fonction atteint son minimum pour x ≈ 33.33 et la valeur minimale de r(x) est ≈ 13.33.

Dans un exercice de surréservation, ce résultat peut être interprété comme le niveau de surbooking qui minimise un coût modélisé, ou qui optimise un indicateur dans le cadre retenu par l’énoncé. Bien sûr, l’interprétation exacte dépend toujours des unités définies par le professeur ou le manuel.

4. Le discriminant et l’absence de racines réelles

Une autre question fréquente du corrigé consiste à vérifier si la fonction coupe l’axe des abscisses. Pour cela, on calcule le discriminant :

Δ = b² – 4ac = (-1.6)² – 4 × 0.024 × 40

On obtient :

Δ = 2.56 – 3.84 = -1.28

Le discriminant est négatif, donc il n’existe aucune racine réelle. La courbe ne coupe jamais l’axe des x. C’est cohérent avec le fait que le minimum de la fonction est positif : même à son point le plus bas, la valeur de r(x) reste supérieure à 0.

5. Tableau de valeurs utile pour le corrigé

Quand un enseignant demande de tracer la courbe ou de commenter son évolution, un tableau de valeurs est souvent indispensable. Voici un tableau simple et directement exploitable :

x	Calcul de r(x)	Valeur obtenue	Lecture pédagogique
0	0.024 × 0² – 1.6 × 0 + 40	40.00	Valeur initiale
10	0.024 × 100 – 16 + 40	26.40	La fonction diminue
20	0.024 × 400 – 32 + 40	17.60	On se rapproche du minimum
30	0.024 × 900 – 48 + 40	13.60	Très proche du sommet
33.33	Sommet de la parabole	13.33	Minimum de la fonction
40	0.024 × 1600 – 64 + 40	14.40	La fonction remonte
50	0.024 × 2500 – 80 + 40	20.00	Hausse nette après le minimum

6. Pourquoi cette fonction est pertinente pour un sujet de surréservation

La surréservation est un problème d’optimisation sous incertitude. Si l’on vend trop peu, le moyen de transport part avec des sièges vides et l’entreprise perd du revenu. Si l’on vend trop, elle doit compenser des clients, proposer des solutions alternatives, gérer une insatisfaction plus forte et parfois payer des montants réglementaires. Le modèle quadratique simplifie cette logique :

• au début, augmenter x peut être avantageux ;
• au-delà d’un seuil, la hausse du risque coûte plus cher ;
• la courbe présente donc un optimum ou, comme ici, un minimum selon la définition de r(x).

Dans un devoir, cette mise en relation entre mathématiques et réalité économique vaut souvent autant que le calcul lui-même. Vous devez donc montrer que vous savez relier la parabole à la décision.

7. Données de référence réelles sur la surréservation et l’indemnisation

Pour donner du sens au modèle, il est utile de connaître quelques données réelles issues de la régulation du transport aérien. Les administrations publiques rappellent que la surréservation existe, mais qu’elle s’accompagne de règles de protection des passagers. Les montants et les mécanismes varient selon la zone géographique, la durée du retard à l’arrivée et la distance.

Référence réelle	Source publique	Donnée	Pourquoi c’est utile pour le modèle
Compensation UE pour refus d’embarquement	Règlement européen expliqué par les autorités publiques	250 €, 400 € ou 600 € selon la distance du vol	Montre qu’un surbooking excessif peut entraîner un coût unitaire élevé
Compensation aux États-Unis pour bumping involontaire	U.S. Department of Transportation	Jusqu’à 200 % ou 400 % du billet aller simple avec plafonds réglementaires, selon le retard subi	Explique pourquoi une petite hausse de x peut faire exploser le coût attendu
Suivi statistique des refus d’embarquement	Bureau of Transportation Statistics	Les compagnies américaines publient régulièrement des taux de denied boarding par passagers embarqués	Confirme que la surréservation est un phénomène mesuré et piloté par les données

Ces données sont particulièrement utiles dans un corrigé approfondi. Elles montrent que la fonction mathématique n’est pas abstraite : elle sert à modéliser des décisions réelles, encadrées juridiquement et surveillées statistiquement.

8. Comparaison entre logique mathématique et décision opérationnelle

Un très bon corrigé compare toujours la pure logique algébrique avec la logique métier. Le mathématicien voit un sommet. Le gestionnaire voit un niveau de surréservation optimal sous contraintes. Le responsable qualité voit un compromis entre remplissage, réputation et indemnisation. Voici une comparaison synthétique :

Lecture mathématique	Lecture opérationnelle	Conséquence pratique
a = 0.024 > 0	Le risque croît plus vite quand x augmente	La stratégie agressive finit par coûter cher
Sommet à x ≈ 33.33	Il existe un niveau théorique optimal	On cherche un réglage proche de cette valeur, sous réserve des contraintes réelles
Δ < 0	Le coût modélisé ne tombe jamais à zéro	Il reste toujours un risque ou un coût incompressible
r(0) = 40	Il existe un niveau de base avant toute surréservation	La décision ne part jamais d’une situation totalement neutre

9. Méthode de rédaction pour un corrigé complet

Si vous devez rendre une réponse propre, structurée et notée, vous pouvez suivre cette méthode :

1. Écrire la fonction clairement : r(x) = 0.024x² – 1.6x + 40.
2. Remplacer x par la valeur demandée et effectuer le calcul pas à pas.
3. Préciser que la fonction est du second degré.
4. Noter que a > 0, donc la parabole est ouverte vers le haut.
5. Calculer le sommet avec -b/2a.
6. Conclure sur le minimum de la fonction.
7. Si nécessaire, calculer le discriminant pour étudier les racines.
8. Interpréter le résultat dans le contexte de la surréservation.

Cette méthode est efficace aussi bien au collège supérieur, au lycée qu’en BTS lorsqu’un sujet mélange calcul, modélisation et lecture graphique.

10. Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de mettre x au carré dans le terme 0.024x².
• Confondre -1.6x avec (-1.6x)².
• Mal utiliser la priorité des opérations.
• Dire que le sommet est un maximum alors que a > 0.
• Croire qu’il y a forcément des racines réelles pour toute parabole.
• Négliger l’interprétation du résultat dans le contexte réel.

11. Liens d’autorité pour approfondir

Pour relier ce type d’activité à des sources fiables sur la surréservation, la protection des passagers et l’analyse des données, vous pouvez consulter :

• U.S. Department of Transportation : bumping and oversales
• Bureau of Transportation Statistics : Air Travel Consumer Report
• Emory University : quadratic functions and graph interpretation

12. Conclusion

Maîtriser l’activité 1 sur la surréservation et le corrigé de r(x) = 0.024x² – 1.6x + 40, c’est savoir faire plus qu’un remplacement numérique. Il faut reconnaître une fonction quadratique, calculer des images, identifier le sommet, comprendre l’absence de racines réelles et surtout interpréter le tout dans un contexte de décision. Le calculateur interactif ci-dessus permet d’automatiser les opérations, mais le vrai objectif pédagogique reste la compréhension : comment une courbe du second degré peut représenter un compromis entre rendement et risque. Si vous retenez cela, vous avez l’essentiel du corrigé expert.