abcdefgh est un cube d’arête 6 cm : calculer AC
Utilisez ce calculateur interactif pour trouver immédiatement la diagonale de face AC dans un cube, visualiser la relation entre l’arête, la diagonale de face et la grande diagonale, puis comprendre la méthode avec une explication complète de niveau expert.
Calculateur de diagonale du cube
Comment résoudre “abcdefgh est un cube d’arête 6 cm : calculer AC”
Quand on vous demande de résoudre l’exercice “abcdefgh est un cube d’arête 6 cm calculer AC”, la clé consiste d’abord à identifier correctement la nature du segment AC. Dans la plupart des conventions de géométrie au collège et au lycée, un cube est noté ABCDEFGH avec la base ABCD formant un carré, et la face supérieure EFGH. Dans ce contexte, AC est la diagonale du carré ABCD. Ce n’est donc pas une diagonale de l’espace, mais bien une diagonale de face.
Le cube possède des propriétés très régulières. Toutes ses arêtes ont la même longueur. Ici, chaque arête mesure 6 cm. Comme la face ABCD est un carré de côté 6 cm, calculer AC revient à calculer la diagonale d’un carré de côté 6. C’est un exercice fondamental qui mobilise le théorème de Pythagore.
Étape 1 : reconnaître la face concernée
Le segment AC relie deux sommets opposés du carré ABCD. Comme AB = BC = 6 cm et que l’angle ABC est droit, le triangle ABC est rectangle en B. Le segment AC est l’hypoténuse de ce triangle rectangle.
Cela permet d’utiliser la formule générale suivante :
AC² = AB² + BC²
En remplaçant par les valeurs données :
AC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72
On obtient alors :
AC = √72 = √(36 × 2) = 6√2
Enfin, avec une valeur approchée de √2 ≈ 1,4142, on trouve :
AC ≈ 6 × 1,4142 = 8,4852 cm, soit 8,49 cm au centième.
Pourquoi le théorème de Pythagore s’applique ici
Le théorème de Pythagore s’applique dans tout triangle rectangle. Or, dans un cube, chaque face est un carré, et chaque carré contient des triangles rectangles. Le triangle ABC est rectangle car deux côtés consécutifs d’un carré sont perpendiculaires. C’est pour cela que l’on peut écrire :
- AB = 6 cm
- BC = 6 cm
- AC est l’hypoténuse
Le calcul devient alors particulièrement simple. De manière générale, si un carré a pour côté a, sa diagonale vaut a√2. Dans un cube d’arête a, toute diagonale de face a donc la même expression.
Différence entre AC et AG dans un cube
Une erreur très fréquente consiste à confondre la diagonale de face AC et la diagonale de l’espace AG. Pourtant, ces deux segments n’ont pas la même longueur. AC reste dans une seule face du cube, tandis que AG traverse l’intérieur du cube d’un sommet à l’opposé complet.
| Segment | Nature | Formule générale | Pour une arête de 6 cm | Valeur approchée |
|---|---|---|---|---|
| AC | Diagonale de face | a√2 | 6√2 | 8,49 cm |
| AG | Diagonale de l’espace | a√3 | 6√3 | 10,39 cm |
Cette distinction est essentielle dans les contrôles et examens. Dès qu’on lit AC, il faut regarder si les deux sommets se trouvent sur la même face. Ici, c’est bien le cas. On ne doit donc pas utiliser √3, mais √2.
Méthode rédigée prête à recopier
Voici une rédaction claire que vous pouvez reprendre dans un devoir :
- ABCD est une face du cube, donc ABCD est un carré de côté 6 cm.
- Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore.
- AC² = AB² + BC²
- AC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72
- AC = √72 = 6√2
- Donc AC = 6√2 cm, soit environ 8,49 cm.
Formule générale à retenir pour tous les cubes
Si l’arête d’un cube vaut a, alors :
- une arête mesure a,
- une diagonale de face mesure a√2,
- une diagonale de l’espace mesure a√3.
Cette hiérarchie est logique. La diagonale de face est plus grande qu’une arête, puisqu’elle relie deux sommets opposés d’un carré. La diagonale de l’espace est encore plus grande, puisqu’elle traverse le cube en trois dimensions.
Exemples numériques pour mieux mémoriser
Pour bien comprendre le comportement de la diagonale de face, il est utile d’observer plusieurs valeurs d’arête. Cela montre comment la longueur de AC augmente proportionnellement avec l’arête.
| Arête a | Diagonale de face a√2 | Valeur approchée | Diagonale de l’espace a√3 | Valeur approchée |
|---|---|---|---|---|
| 2 cm | 2√2 | 2,83 cm | 2√3 | 3,46 cm |
| 4 cm | 4√2 | 5,66 cm | 4√3 | 6,93 cm |
| 6 cm | 6√2 | 8,49 cm | 6√3 | 10,39 cm |
| 10 cm | 10√2 | 14,14 cm | 10√3 | 17,32 cm |
Les valeurs approchées du tableau sont calculées à partir de constantes connues et largement utilisées en mathématiques appliquées : √2 ≈ 1,4142 et √3 ≈ 1,7321. Ces approximations sont suffisantes pour les exercices scolaires courants.
Interprétation géométrique du résultat 6√2
Le résultat 6√2 ne doit pas être vu comme une simple écriture technique. Il exprime une relation géométrique profonde : la diagonale d’un carré est toujours égale à la longueur du côté multipliée par √2. Cette constante intervient parce que l’on additionne deux carrés égaux dans le théorème de Pythagore :
a² + a² = 2a²
En prenant la racine carrée, on obtient :
√(2a²) = a√2
Dans le cas présent, a = 6, d’où 6√2. Ce raisonnement est central dans la géométrie euclidienne et se retrouve aussi dans l’étude des rectangles, des carrés, des pavés droits et de la distance entre deux points dans le plan.
Erreurs les plus fréquentes à éviter
- Confondre AC avec AG : AC est une diagonale de face, AG est une diagonale de l’espace.
- Oublier de vérifier l’angle droit : il faut identifier le triangle rectangle avant d’appliquer Pythagore.
- Donner seulement la valeur décimale : dans de nombreux exercices, la forme exacte 6√2 est attendue avant l’approximation.
- Écrire 12 : certains élèves additionnent les côtés au lieu d’utiliser la relation quadratique correcte.
- Écrire 36√2 : l’erreur vient d’une mauvaise gestion des puissances lors de l’extraction de racine.
Astuce mentale pour aller plus vite
Si vous reconnaissez immédiatement qu’il s’agit d’un carré de côté 6, vous pouvez passer directement à la formule :
diagonale du carré = côté × √2
Donc :
AC = 6√2
Cette astuce est particulièrement utile en situation de test chronométré. Elle évite de refaire tout le développement à chaque fois, à condition de savoir d’où vient la formule.
Pourquoi cette notion est importante en géométrie
Le calcul de AC dans un cube est loin d’être anecdotique. Il prépare à plusieurs notions plus avancées :
- la distance entre deux points dans le plan,
- la distance dans l’espace,
- les vecteurs et normes,
- la modélisation 3D,
- le dessin technique, l’architecture et la CAO.
Dans les disciplines scientifiques et techniques, les diagonales sont omniprésentes. Elles servent à calculer des longueurs réelles, des dimensions d’objets, des positions de points et des structures spatiales. Même un exercice simple sur le cube constitue donc une excellente base conceptuelle.
Ressources académiques et institutionnelles utiles
Pour approfondir les bases sur la géométrie, la distance et les représentations de l’espace, vous pouvez consulter : MIT OpenCourseWare, NIST, et le département de mathématiques de Berkeley.
Conclusion : la bonne réponse à “abcdefgh est un cube d’arête 6 cm calculer AC”
La résolution complète est simple dès que l’on identifie correctement la figure. AC est la diagonale d’une face carrée de côté 6 cm. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC, on obtient :
AC² = 6² + 6² = 72
AC = √72 = 6√2
AC ≈ 8,49 cm
Ainsi, la réponse exacte est 6√2 cm et la réponse approchée est 8,49 cm. Si vous retenez qu’une diagonale de face dans un cube vaut a√2, vous pourrez résoudre instantanément tous les exercices de même type.