Bernoulli a la calculatrice TI 83
Calculez instantanement les probabilites d’une loi de Bernoulli, retrouvez l’esperance, la variance, l’ecart-type et visualisez les resultats sur un graphique clair, dans un outil pense pour les eleves, les enseignants et les candidats aux examens.
Calculatrice Bernoulli TI 83
Entrez la probabilite de succes p, choisissez l’issue x et, si vous le souhaitez, indiquez un nombre de repetitions n pour obtenir aussi la projection binomiale associee.
Comprendre la loi de Bernoulli a la calculatrice TI 83
Quand on parle de bernoulli a la calculatrice TI 83, on parle en pratique d’un cas tres simple de probabilites discretes : une experience qui n’a que deux issues possibles. Soit l’evenement se produit, soit il ne se produit pas. Sur le plan mathematique, on code souvent le succes par 1 et l’echec par 0. La variable aleatoire X suit alors une loi de Bernoulli de parametre p, ou p represente la probabilite du succes.
Cette loi est fondamentale, car elle sert de brique elementaire a la loi binomiale. Si vous repetez n fois la meme experience de Bernoulli, de maniere independante et avec la meme probabilite p, alors le nombre total de succes suit une loi binomiale. Sur TI 83, beaucoup d’eleves rencontrent la Bernoulli en premiere approche avant de travailler la binomiale, les intervalles de fluctuation ou encore les tests d’hypothese.
La TI 83 ne propose pas toujours un menu nomme explicitement “Bernoulli”, mais elle permet de traiter tres facilement ce cas en utilisant soit les formules directes, soit l’intuition de la loi binomiale avec n = 1. C’est ce point qui cree souvent la confusion. Si n = 1, alors une binomiale B(1, p) est exactement une Bernoulli de parametre p.
Definition mathematique simple
Une variable aleatoire X suit une loi de Bernoulli de parametre p avec 0 ≤ p ≤ 1 si :
- P(X = 1) = p
- P(X = 0) = 1 – p
Les caracteristiques principales a retenir sont :
- Esperance : E(X) = p
- Variance : V(X) = p(1 – p)
- Ecart-type : σ(X) = √(p(1 – p))
Ces trois quantites sont essentielles dans tous les exercices. L’esperance donne la moyenne theorique a long terme. La variance mesure la dispersion. L’ecart-type correspond a la racine carree de la variance et s’interprete plus facilement dans les applications concretes.
Comment faire sur une TI 83
Methode 1 : calcul direct
Pour une loi de Bernoulli, la methode la plus rapide consiste a saisir simplement p ou 1 – p. Par exemple, si la probabilite de succes vaut 0,35 :
- Pour calculer P(X = 1), tapez 0.35 puis ENTER.
- Pour calculer P(X = 0), tapez 1 – 0.35 puis ENTER.
- Pour l’esperance, tapez 0.35.
- Pour la variance, tapez 0.35 × (1 – 0.35).
- Pour l’ecart-type, tapez √(0.35 × (1 – 0.35)).
Cette approche est tres efficace, surtout dans les evaluations, car elle va droit au but.
Methode 2 : lecture binomiale avec n = 1
Sur certaines versions ou habitudes de cours, on represente la Bernoulli comme une binomiale B(1, p). Cela permet d’utiliser des fonctions de probabilites discretes deja connues. Si votre calculatrice ou votre enseignant vous a habitue a travailler avec la binomiale, gardez cette equivalence en tete :
- Bernoulli(p) = Binomiale(n = 1, p)
- P(X = 1) = p
- P(X = 0) = 1 – p
Exemple complet pas a pas
Supposons qu’un controle qualite indique qu’un composant electronique a 8 % de risque d’etre defectueux. Si l’on note X = 1 lorsque le composant est defectueux, alors X suit une loi de Bernoulli de parametre p = 0,08.
- P(X = 1) = 0,08
- P(X = 0) = 0,92
- E(X) = 0,08
- V(X) = 0,08 × 0,92 = 0,0736
- σ(X) = √0,0736 ≈ 0,2713
Sur TI 83, vous pourriez donc calculer directement :
- 0.08 ENTER
- 1 – 0.08 ENTER
- 0.08 × 0.92 ENTER
- √(0.08 × 0.92) ENTER
Le sens de ces valeurs est simple. L’esperance 0,08 ne signifie pas qu’un composant est defectueux “a 0,08 unite”, mais qu’en moyenne theorique, sur un grand nombre de composants, la proportion de composants defectueux sera voisine de 8 %.
Tableau comparatif : Bernoulli selon la valeur de p
Le tableau suivant montre comment evoluent l’esperance, la variance et l’ecart-type pour plusieurs valeurs reelles de p. Ces valeurs sont exactes ou arrondies et servent de repere utile pendant les revisions.
| Parametre p | P(X = 0) | P(X = 1) | Esperance E(X) | Variance V(X) | Ecart-type σ(X) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,10 | 0,90 | 0,10 | 0,10 | 0,0900 | 0,3000 |
| 0,25 | 0,75 | 0,25 | 0,25 | 0,1875 | 0,4330 |
| 0,50 | 0,50 | 0,50 | 0,50 | 0,2500 | 0,5000 |
| 0,75 | 0,25 | 0,75 | 0,75 | 0,1875 | 0,4330 |
| 0,90 | 0,10 | 0,90 | 0,90 | 0,0900 | 0,3000 |
Ce tableau montre un fait important : la variance est maximale quand p = 0,50. C’est logique, car l’incertitude est alors la plus forte. Quand p est tres proche de 0 ou de 1, l’issue devient plus previsible, donc la dispersion diminue.
Bernoulli et binomiale : bien faire la difference
Beaucoup d’erreurs viennent d’une confusion entre la loi de Bernoulli et la loi binomiale. Voici la distinction essentielle :
- Bernoulli : une seule experience, deux issues, X vaut 0 ou 1.
- Binomiale : n experiences independantes identiques, le nombre total de succes varie de 0 a n.
Autrement dit, la Bernoulli est le cas le plus elementaire. La binomiale est une somme de variables de Bernoulli independantes. C’est pour cela que la TI 83 est souvent utilisee de deux facons : calcul direct pour Bernoulli, ou modelisation binomiale si l’exercice s’etend a plusieurs essais.
| Modele | Nombre d’essais | Valeurs possibles | Esperance | Variance | Exemple concret |
|---|---|---|---|---|---|
| Bernoulli(p) | 1 | 0 ou 1 | p | p(1 – p) | Un eleve reussit ou non a une question |
| Binomiale(n, p) | n | De 0 a n | np | np(1 – p) | Nombre de bonnes reponses sur n questions independantes |
Pourquoi la TI 83 reste utile pour ce chapitre
La TI 83 est tres appreciee parce qu’elle permet d’aller vite, de verifier ses calculs et de reduire les erreurs d’arrondi. Dans le cadre d’une loi de Bernoulli, elle sert surtout a :
- recalculer rapidement p et 1 – p ;
- obtenir la variance sans erreur de frappe ;
- calculer l’ecart-type avec la touche racine ;
- controler les ordres de grandeur pendant un devoir ;
- preparer la transition vers la loi binomiale.
Pour les eleves, c’est aussi un bon moyen de se concentrer sur le raisonnement plutot que sur l’arithmetique. Le plus important reste de savoir identifier le modele adapte a la situation.
Erreurs frequentes a eviter
1. Confondre p et 1 – p
Si le succes a une probabilite p, alors l’echec vaut 1 – p. Cela parait elementaire, mais c’est l’erreur la plus courante en exercice.
2. Oublier que Bernoulli ne prend que 0 ou 1
Une variable de Bernoulli ne peut pas prendre 2, 3 ou toute autre valeur. Si l’exercice demande le nombre de succes sur plusieurs essais, vous etes deja dans un cadre binomial.
3. Mal calculer la variance
La variance n’est pas p², ni 1 – p. La bonne formule est p(1 – p).
4. Croire que l’esperance est une valeur necessairement observable
L’esperance est une moyenne theorique. Pour une Bernoulli, elle peut etre 0,35 par exemple, alors que la variable ne prend jamais directement la valeur 0,35.
Applications concretes de la loi de Bernoulli
La loi de Bernoulli intervient partout des qu’un phenomene se ramene a une logique oui ou non :
- un email est ouvert ou non ;
- une piece est conforme ou non ;
- un patient repond ou non a un traitement ;
- un client clique ou non sur une annonce ;
- un candidat reussit ou non une question.
Dans toutes ces situations, la Bernoulli permet de modeliser une experience unique. Si l’on repete l’experience sur plusieurs individus, produits ou essais, on passe naturellement a la binomiale.
Procedure rapide pour les examens
- Identifier le succes et l’echec.
- Definir clairement la variable X, souvent X = 1 pour succes et X = 0 pour echec.
- Repeter la phrase : “X suit une loi de Bernoulli de parametre p”.
- Donner P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p.
- Calculer E(X) = p.
- Calculer V(X) = p(1 – p).
- Calculer σ(X) = √(p(1 – p)) si demande.
- Verifier l’arrondi a la calculatrice TI 83.
Avec cette routine, vous securisez l’essentiel des points sur les questions standards.
Sources fiables pour approfondir
Pour aller plus loin, il est utile de consulter des references solides en statistique et probabilites. Voici trois ressources de confiance :
- NIST, Engineering Statistics Handbook
- Penn State University, STAT 414 Probability Theory
- University of California Berkeley, Department of Statistics
Ces sites permettent de consolider la theorie, de voir des exemples et de replacer la loi de Bernoulli dans un cadre plus large de probabilites discretes.
Conclusion
Maîtriser bernoulli a la calculatrice TI 83, c’est surtout comprendre qu’il s’agit du modele le plus simple des probabilites discretes. Une experience, deux issues, une probabilite p. La TI 83 sert alors a aller plus vite, a eviter les erreurs de calcul et a relier cette loi a la binomiale lorsque les essais se repetent. Si vous retenez les deux probabilites p et 1 – p, puis les formules E(X) = p et V(X) = p(1 – p), vous possedez deja l’essentiel du chapitre.
Utilisez le calculateur ci dessus pour verifier vos exercices, tester differentes valeurs de p et observer visuellement l’equilibre entre succes et echec. C’est une excellente facon de transformer une definition abstraite en intuition concrete.