Calcul de DL de cos(ln x)

Calculez rapidement le développement limité de cos(ln x) au voisinage de x = 1, comparez la valeur exacte et l’approximation, puis visualisez l’écart sur un graphique interactif.

Valeur de x

Ordre du DL

Fenêtre du graphique autour de 1

Le calculateur utilise le développement limité de cos(ln x) au voisinage de x = 1, avec la substitution u = x – 1.

Guide expert: comprendre le calcul du développement limité de cos(ln x)

Le calcul de DL de cos ln x est un classique de l’analyse en première année d’université, en classes préparatoires et dans de nombreux cursus scientifiques. Derrière l’expression apparemment compacte cos(ln x), on trouve en réalité une composition de fonctions qui mobilise plusieurs outils fondamentaux: le développement limité du logarithme, la série de Taylor de la fonction cosinus, la gestion des ordres de grandeur et la lecture des termes dominants. Maîtriser ce calcul n’est pas seulement utile pour réussir un exercice. C’est aussi une excellente manière de comprendre comment les approximations locales permettent d’étudier un comportement de fonction avec une précision remarquable.

Dans la plupart des cas, on cherche le développement limité de cos(ln x) au voisinage de x = 1. Ce choix est naturel: d’une part, la fonction logarithme est particulièrement simple autour de 1, puisque ln(1) = 0; d’autre part, la fonction cosinus possède une série de Maclaurin bien connue autour de 0. Le point x = 1 crée donc une jonction idéale entre les deux structures. On pose souvent u = x – 1, ce qui transforme le problème en étude de cos(ln(1+u)) lorsque u → 0.

Pourquoi le voisinage de x = 1 est-il le plus adapté ?

Le logarithme népérien a pour développement limité fondamental:

ln(1+u) = u – u²/2 + u³/3 – u⁴/4 + u⁵/5 – u⁶/6 + o(u⁶)

Par ailleurs, la fonction cosinus admet près de 0 le développement:

cos(t) = 1 – t²/2 + t⁴/24 – t⁶/720 + o(t⁶)

En remplaçant t par ln(1+u), on obtient l’idée centrale du calcul. Comme ln(1+u) est lui-même petit lorsque u est petit, on peut substituer la première série dans la seconde, puis développer soigneusement en conservant les termes jusqu’à l’ordre demandé.

Résultat du développement limité au voisinage de 1

En pratique, le développement limité de cos(ln x) autour de x = 1, avec u = x – 1, commence ainsi:

cos(ln x) = 1 – (1/2)u² + (1/2)u³ – (5/12)u⁴ + (1/3)u⁵ – (19/72)u⁶ + o(u⁶)

Autrement dit:

cos(ln x) = 1 – (1/2)(x-1)² + (1/2)(x-1)³ – (5/12)(x-1)⁴ + (1/3)(x-1)⁵ – (19/72)(x-1)⁶ + o((x-1)⁶)

Un point important attire tout de suite l’attention: il n’y a pas de terme en (x-1). Cela signifie que la dérivée première de cos(ln x) en 1 est nulle. Géométriquement, la courbe est localement très plate autour de ce point. C’est d’ailleurs une raison pour laquelle les approximations d’ordre 2, 4 ou 6 deviennent vite très précises dès que x reste proche de 1.

Méthode détaillée de calcul

Poser u = x – 1, donc x = 1 + u.
Écrire le développement limité de ln(1+u) à l’ordre souhaité.
Remplacer l’argument du cosinus par cette série.
Utiliser la série de cos(t) en 0.
Développer puissances et produits, puis regrouper les termes par degré en u.
Éliminer tous les termes d’ordre supérieur à celui demandé.

Le point technique le plus délicat vient des puissances composées, notamment (ln(1+u))², (ln(1+u))⁴ et parfois (ln(1+u))⁶. Pour éviter les erreurs, il faut toujours suivre une stratégie systématique: écrire la série du logarithme, calculer ses puissances uniquement jusqu’au degré utile, puis injecter dans la formule du cosinus. L’erreur classique consiste à développer trop peu ou trop loin, ce qui fait soit perdre un terme nécessaire, soit alourdir inutilement les calculs.

Tableau des coefficients utiles

Ordre	Coefficient dans le DL de cos(ln x) autour de 1	Terme correspondant
0	1	1
1	0	0 × (x-1)
2	-1/2	– (1/2)(x-1)²
3	1/2	+ (1/2)(x-1)³
4	-5/12	– (5/12)(x-1)⁴
5	1/3	+ (1/3)(x-1)⁵
6	-19/72	– (19/72)(x-1)⁶

Ce tableau a une valeur pratique immense. Il permet de reconstruire immédiatement un DL tronqué à l’ordre désiré. Par exemple, un DL à l’ordre 4 se contente des termes jusqu’à (x-1)^4. Si vous ne cherchez qu’une approximation numérique de bon niveau près de 1, l’ordre 4 constitue souvent un excellent compromis entre simplicité et précision.

Comparaison chiffrée de la précision selon l’ordre

Pour évaluer concrètement l’intérêt d’un développement limité, il faut comparer la fonction exacte et son approximation. Les données ci-dessous sont calculées pour des valeurs symétriques autour de 1. Elles montrent à quel point l’erreur diminue lorsque l’on augmente l’ordre du DL.

x	Valeur exacte de cos(ln x)	DL ordre 2	DL ordre 4	DL ordre 6
0,8	≈ 0,975207	0,980000	0,975333	0,975209
1,2	≈ 0,983425	0,980000	0,983333	0,983423
0,5	≈ 0,769239	0,875000	0,786458	0,771918

On voit ici une tendance très claire:

près de x = 1, l’ordre 4 est déjà très performant ;
l’ordre 6 devient extrêmement précis dans une fenêtre restreinte autour de 1 ;
plus on s’éloigne de 1, plus il faut augmenter l’ordre ou accepter une erreur plus grande ;
un développement limité reste une approximation locale, pas une formule universelle sur tout l’intervalle ]0,+∞[.

Si l’on résume les écarts absolus relevés sur ces exemples, l’ordre 2 présente une erreur d’environ 4,79 × 10^-3 à x = 0,8, l’ordre 4 tombe vers 1,27 × 10^-4, tandis que l’ordre 6 descend autour de 3 × 10^-6. Cette chute très rapide de l’erreur est typique des séries de Taylor quand le point évalué reste dans une zone où la convergence est favorable.

Interprétation analytique du résultat

L’expression cos(ln x) a une structure intéressante. Le logarithme transforme une variation multiplicative de x en variation additive, puis le cosinus impose une oscillation. Cela signifie que la fonction n’oscille pas comme cos(x), mais comme un cosinus appliqué à une échelle logarithmique. Autour de x = 1, cependant, cette complexité disparaît localement: puisque ln x vaut presque x-1, la fonction ressemble à une perturbation douce de cos(u) avec des corrections d’ordre supérieur.

Cette lecture explique aussi pourquoi le terme quadratique domine si x reste très proche de 1. On peut alors écrire, au premier ordre non nul:

cos(ln x) ≈ 1 – (1/2)(x-1)²

Cette approximation suffit souvent pour une étude qualitative: sens de variation local, concavité initiale, comparaison avec 1, position relative de la courbe. Dans un devoir plus rigoureux, on ajoute les termes cubique et quartique pour mieux décrire l’asymétrie introduite par le logarithme.

Erreurs fréquentes dans le calcul du DL de cos ln x

Écrire directement cos(ln x) ≈ 1 – (ln x)²/2 sans remplacer ensuite ln x par son DL en x = 1.
Oublier que le développement du logarithme est en ln(1+u), donc qu’il faut poser u = x – 1.
Conserver des puissances inutiles ou, à l’inverse, couper le calcul trop tôt.
Confondre o(u^n) et O(u^n).
Négliger que la précision dépend de la distance entre x et 1.

Quand utiliser un calculateur de DL ?

Un calculateur spécialisé est utile dans trois situations. D’abord, pour vérifier un résultat de cours et s’assurer que les coefficients sont corrects. Ensuite, pour obtenir rapidement une approximation numérique de cos(ln x) sans passer par une calculatrice scientifique à chaque étape. Enfin, pour visualiser graphiquement la différence entre la fonction exacte et son développement limité. Cet aspect visuel est particulièrement précieux en pédagogie: il montre immédiatement que l’approximation est excellente près de 1 et se dégrade graduellement quand on s’en éloigne.

Sources académiques et institutionnelles utiles

Pour approfondir les séries, les développements limités et les fonctions usuelles, vous pouvez consulter les ressources suivantes:

Conclusion

Le calcul de DL de cos ln x est un excellent exercice de synthèse. Il oblige à combiner une série de logarithme et une série trigonométrique, à manipuler les puissances de manière ordonnée et à comprendre la portée réelle d’une approximation locale. Le résultat autour de x = 1 est particulièrement élégant: